Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.

Теорема. Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство. Начнем доказательство с левого неравенства (1).

По определению

нижней цены в смешанных стратегиях

Здесь правая часть не зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р = A_i, i = 1,..., m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i = 1,..., m, то оно будет справедливым в частности для того номера i,который максимизирует показатель эффективности α_i:

Итак, первое из неравенств (1) доказано.

Докажем второе неравенство ≤ в (1). Для любых Р S_A и Q S_B по

и

имеем:

Соотношение (2) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (Р, Q)выигрыш H (P, Q)игрока A не меньше показателя эффективности α (P)его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (2) справедливо для любых Р S_A и Q S_B, то из него следует, что

Докажем последнее (правое) из неравенств (1). В силу определения

верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q = B_j, j = 1,..., п,игрока В

и, следовательно, неравенство остается в силе и для того номера j,который минимизирует показатель неэффективности β (B_j) стратегии В_j, т.е.

Итак, (1) доказано.

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!