Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Соотношение между матрицами выигрышей игроков A и B в антагонистической игре.
Рассмотрим парную игру с игроками А и В. Пусть игрок А имеет т стратегий 
={А1, A2,..., Ат}, а (противник) игрок В - п стратегий 
={В1, B2,..., Вп}. Натуральные числа т и п в общем случае никак не связаны между собой.
Если каждый из игроков А и В сознательно определенным образом выбирает стратегии Аi и Вj соответственно, то сложившаяся ситуация (в чистых стратегиях) (Аi,Bj) однозначно определяет выигрыш игрока А, выражающийся действительным числом аij, которое одновременно является и проигрышем игрока В. А число (- aij) выражает проигрыш игрока А и выигрыш игрока В. Если число aij отрицательно, то в принятой нами формализованной терминологии оно будет представлять отрицательный выигрыш игрока А, а по сути - его проигрыш. Числа аij - это значения функции выигрыша FA игрока A: FA(i,j) = FA(Ai,Bj) = аij. Ходы игроков с сознательным выбором одной из возможных своих чистых стратегий называют иногда личными ходами.
Выигрыши aij,i = 1,..., m, j = 1,..., n, можно расположить в виде матрицы, номера строк которой соответствуют номерам стратегий игрока А, а номера столбцов - номерам стратегий игрока В.
| Bj Ai | B 1 | B 2 | … | Bn |
| A 1 | a 11 | a 12 | … | a 1 n |
| A 2 | a 21 | a 22 | … | a 2 n |
| … | … | … | … | … |
| Am | am 1 | am 2 | … | amn |
| A = |
Матрица А называется матрицей выигрышей игрока A.
Обозначим через bij значения функции выигрыша FB игрока В, т. е. FB(j,i) = FB(Вj,Ai) = bji,j = 1,..., n,i = 1,..., т. Тогда матрица выигрышей игрока В будет иметь вид
AiAi
Bj
| A 1 | A 2 | … | Am | |||
| B 1 | b 11 | b 12 | … | b 1 n | |||
| B 2 | b 21 | b 22 | … | b 2 n | |||
| … | … | … | … | … | |||
| Bn | bn 1 | bn 2 | … | bnm |
Если рассматриваемая игра - антагонистическая (т.е. с нулевой суммой выигрышей), то функции выигрышей FA и FB игроков Аи В связаны между собой равенством FB(Bj, Ai) = - FA(Ai, Bj), i = 1, …, m,j = 1,...,n и, следовательно,
bji = FB(Bj, Аi) = -FA(Ai,Bj) = -аij,i = 1,..., т, j = 1,..., n.
Эти равенства означают, что матрица выигрышей В игрока В является противоположной транспонированной матрице A: B = - A T.
Таким образом, матрица В вполне определяется матрицей А. Матрицу А также называют матрицей игры, или платежной матрицей. Матрица А имеет размер т × п, где первая компонента размера т указывает на число строк (т.е. число стратегий игрока А), а вторая п - на число столбцов (число стратегий игрока В). Поэтому часто такую игру называют т × п - игрой.
Отметим, что матрица игры существенно зависит от упорядочений множеств и стратегий игроков А и В. При другой нумерации стратегий этих множеств мы получим, вообще говоря, другую матрицу игры. Так что одна и та же игра может описываться различными матрицами. Но при всевозможных матрицах игры функция FA выигрыша игрока А остается одной и той же, определенной на декартовом произведении × с множеством значений в множестве действительных чисел R. Это замечание относится и к функции FB выигрыша игрока В.
|
|
|
Всякую конечную антагонистическую игру можно привести к матричной форме.
Матрица игры А формируется в зависимости от значений функции выигрыша FA, которая может задаваться таблично, аналитически (в виде формулы) или словесно-описательным способом.
Для того чтобы совокупность { 
, ,FA}, представляющая антагонистическую игру, стала обозримой, необходимо перечислить возможные стратегии игроков, т.е. сформировать множества и , и формализовать правила, по которым развивается конфликт, в виде функции выигрыша FA.
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!