Доминирование чистых стратегий.
Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.
Пусть имеем игру с матрицей
/////////// матрица //////
Каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии игрока поставим в соответствие строку
(1)
(размера ), элементами которой являются выигрыши игрока в ситуациях
В силу формулы строку (1) можно представить так:
откуда видно, что она является выпуклой комбинацией строк матрицы (выпуклой, т.к. )
Обратно, каждой выпуклой комбинации (2) строк матрицы с коэффициентами поставим в соответствие смешанную стратегию игрока .
Таким образом, между смешанными (в том числе и чистыми) стратегиями игрока и выпуклыми комбинациями
, , строк матрицы устанавливается взаимно-однозначное соответствие
.(3)
Из (1) и (3) ясно, что каждой чистой стратегии , игрока ставится во взаимно-однозначное соответствие я строка матрицы .
Если для двух выпуклых комбинаций строк матрицы
(4)
и
, (5)
выполняются неравенства
,(6)
то говорят, что строка (5) доминирует строку (4), а строка (4) доминируется строкой (5). Таким образом, строка (5) – доминирующая строку (4), а строка (4) – доминируемая строкой (5).
|
|
Если каждое из неравенств (6) являются равенствами, то строки (4) и (5) называются дублирующими друг друга.
Если каждое из неравенств (6) является строгим, то говорят, что строка (5) строго доминирует строку (4), а строка (4) строго доминируется строкой (5).
Аналогичная терминология используется и для соответствующих стратегий игрока . Если строка (5) доминирует, дублирует или строго доминирует строку (4), то говорят, что стратегия доминирует, соответственно дублирует, соответственно строго доминирует стратегию . Дублирующие стратегии равнопредпочтительны, а доминируемая не дублирующая стратегия заведомо невыгодна.
Так как элементами строк, соответствующих по (3) смешанным стратегиям, являются выигрыши игрока , то из данных определений понятно, что для игрока дублирующие стратегии равнопредпочтительны, а доминируемая не дублирующая стратегия заведомо для него невыгодна.
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 102; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!