Первая квадратичная форма. Свойства
Пусть 
- гладкая поверхность, заданная регулярной вектор-функцией 
, 
. Ранее было получена
.
Функция
(20)
называется первой квадратичной формой поверхности .
Обозначение 
.
Тогда равенство (20) записывается:
. (21)
Так как 
зависят от параметра 
, то первая квадратичная форма является функцией от 
и 
.
Свойства 
:
1. - положительная определенная квадратичная форма.
2. Длина дуги 
гладкой линии 
вычисляется по формуле: 
.
Угол между пересекающими в точке 
гладкими линиями 
и 
соответственно; 
и 
- векторы касательных к указанным линиям в точке ; 
и 
- первые квадратичные формы, вычисляемые в точке по линиями и .
- угол между векторами и .
Учитывая все эти свойства, первую квадратичную форму называют метрической формой поверхности.
Пример. Дан прямой геликоид 
а) Вычислить первую квадратичную форму
.
б) под каким углом пересекаются линии 
и 
на геликоиде, определяемые множеством всевозможных пар 
, принадлежащих соответственно прямым 
и 
на плоскости 
.
Пусть и - кривые на геликоиде, 
и 
- символы дифференцирования по кривым и . Тогда 
, поэтому для простоты вычислений можно считать: 
. Вычислить первую квадратичную форму по линиям и в точке 
соответствующей точке 
.
Используя (21), получим:
|
|
|
Тогда 
;
в) найдем длину дуги кривой 
, заключенной между плоскостями 
и 
.
, где 
- значения параметра , соответствующее точкам пересечения , плоскостями и (этот параметр и определяют линию ); 
и 
- точки пересечения , с указанными плоскостями.
Имеем 
.
Вычислим и 
. Из (21): 
-значения параметра .
Так как не кривой , справедливо равенство 
выходит 
.
Тогда
Вторая квадратичная форма
- гладкая элементарная поверхность класса 
, - ее регулярная параметризация.
Тогда ,
.(26)
Вектор 
- единичный вектор нормали к поверхности : 
, 
.
Умножая обе части равенства (26) скалярно на вектор, получим:
, (27)
где 
, 
, 
(28)
(27) – вторая квадратичная форма, причем неотрицательная (она равна нулю соответственно, когда поверхности лежат на плоскости).
Пример. Вычислить 
для прямого геликоида.
По формуле (28):
, 
, 
.
Следовательно
.
| Апталар | Тақырыптың атауы | Сағаттар | |||||
| 1 | Лекция. Введение. Вектор-функция скалярного аргумента. Формула Тейлора. |
| |||||
| Практическое занятие. Прерывность вектор-функций; дифференцирование вектор функций.
| |||||||
| 2 | Лекция. Регулярные кривые. Касательная прямая. Касательная плоскость. |
| |||||
| Практическое занятие. Касательная прямая; бирегулярная кривая; касательная плоскость. | |||||||
| 3 | Лекция. Кривизна и кручение линии. Репер Френе. |
| |||||
| Практическое занятие. | |||||||
| 4 | Дәріс Винттiк сызықтың бұралымы. Эволюта және эвольвента. |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Эволюта және эвольвен-таны есептеу. |
| ||||||
| 5 | Дәріс Френе формулалары. Натурал теңдеу жөнiнде теорема |
|
| ||||
| Практикалық сабақтар Қисықтың натурал теңдеуi |
| ||||||
| 6 | Дәріс. Екi скалярлық аргументiне тәуелдi векторлық функция |
|
| ||||
Практикалық сабақ  функция-сының дербес туындысы және толық дифференциалы
|
| ||||||
| 7 | Дәріс Регулярлық беттер |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Беттiң параметризациясы; регулярлық беттер және олардың скалярлық теңдеулерi |
| ||||||
| 8 | Дәріс Беттiң жанама жазықтығы және нормалi. Беттегi қисықтар |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Жанама жазықтықтың теңдеулерi. Бет нормалiнің теңдеулерi. Беттегi қисықтар |
| ||||||
| 9 | Дәріс Беттiң бірінші квадраттық формасы. Қасиеттерi. |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Регулярлық беттегi қисықтың ұзындығы және олардың арасындағы бұрыш. Бас қисықтықтар мен бас бағыттар |
| ||||||
| 10 | Дәріс Беттегi сызықтың қисықтығы.Беттiң 2-шi квадраттық формасы |
|
| ||||
| Практикалық сабақтар 2-шi квадраттық форманы есептеу. Беттегі сызықтардың арасындағы бұрыш, доғаның ұзындығы |
| ||||||
| 11 | Дәріс Беттiң iшкi геометриясы |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Изометриялық беттер; геодезиялық сызықтар |
| ||||||
| 12 | Дәріс Топологиялық кеңiстiктер. Топологияның түрлi еңгiзiлуi. |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Топологиялық кеңiстiктегi: түйық жиындар, нүктенiң аймағы, жиынның түйықталуы, жиынның iшi мен шек арасы. Топологияның база арқылы еңгiзiлуi |
| ||||||
| 13 | Дәріс Метрикалық кеңiстiктер |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Метрикалық кеңiстiктердегi топология |
| ||||||
| 14 | Дәріс Топологиялық кеңiстiктердiң үзiлiссiз бейнелеуi және гомеоморфизм |
|
| ||||
| Практикалық сабақтар. Мебиус парағының топологиялық қасиеттерi |
| ||||||
| 15 | Дәріс Топологиялық кеңiстiктердiң түрлерi |
|
| ||||
| Практикалық сабақ Топологиялық көпбейнелiктер | 1 | ||||||
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!