Вычисление кривизны и кручение кривой,

Заданной в произвольной параметризации

Пусть - произвольная параметризация регулярной кривой класса , . Выведем формулы для вычисления и кривой в этой произвольной параметризации. Имеем

где .

Отсюда формулу (14) получим следующее выражение для вектора :

. (15)

Вектор - единичный направляющий вектор главной нормали – можно вычислить по формуле . Теперь найдем формулу для вычисления кручения. Имеем

где через обозначен сомножитель, зависящий от ;

Итак,

Пример. Вычислим и винтовой линии , заданной в произвольной параметризации:

Имеем:

Понятие поверхности

Простейшей поверхностью в называется плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат.

Множество , гомеоморфное простейшей поверхности называется элементарной поверхностью.

Пример. Сфера не является элементарной поверхностью (не найдется гомеоморфизма сферы и простейшей поверхности). Эллипсоид гомеоморфно сфере выходит не является элементарной поверхностью. Полусфера, эллиптичные и гиперболичные параболоиды - элементарные поверхности, так как полусфера с границей гомеоморфна кругу, круг гомеоморфен квадрату, параболоиды гомеоморфны поверхности.

Поверхностью называется фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарной поверхности.

Рассмотренные примеры не являются элементарной поверхностью, но является поверхности: однополостный гиперболоид, сфера, эллипсоид можно покрыть двумя элементарной поверхностью.

Обыкновенные, внутренние, граничные и особые поверхности. Точка называется обыкновенной, если найдется такая окрестность , что является элементарной поверхностью.

Следовательно, элементарные поверхности состоят только из обыкновенных точек. Обыкновенная точка называется внутренней, если это пересечение гомеоморфно плоскости. Если пересечение гомеоморфно замкнутой плоскости, то точка называется граничной.

Точка называется особой, если она не является обыкновенной. Точка - внутренняя, - особая, - граничная.

Поверхность называется простой, если она состоит из обыкновенных точек.

Пример. Сфера - простейшая поверхность, так как состоит только из обыкновенных точек. Коническая поверхность не является простой, так как вершина – особая точная.

Всякая элементарная поверхность является простой. Множество всех граничных точек простой поверхности называется границей (краем).

Регулярные поверхности

в , - евклидова плоскость. Соответствие : является биективным или гомеоморфизмом. Поэтому будем отождествлять с плоскостью , - с замкнутой полуплоскостью и т.д..

Пусть - область гомеоморфная плоскости , - гомеоморфизм на элемент поверхность ,

Координаты точки являются непрерывными функциями координат точек

. (17)

(17) – параметрическая уравнения поверхности .

Если - радиус вектор точки , то уравнение (17) записываем:

. (18)

, - регулярная функция класса , если:

1) функции имеют непрерывные частные производные до порядке.

2) непараллельная для любой .

Элементарная поверхность называется регулярной класса , если она задается регулярной вектор-функцией класса . Простая поверхность называется регулярной класса , если любой ее внутренней точки найдется окрестность такая, что - поверхность элементарная поверхность.