Криволинейные координаты точек

поверхности, - линии, - линии

Если , то зависит только от , поэтому на поверхности она описывает гладкую линию. Ее называет - линией , аналогична - линии . Векторы и называются направляющими векторами касательных - линии и - линии.

1. Если известны и , , то по формуле можно вычислить координаты точки . Поэтому и называются криволинейные координаты точки ; , - линии криволинейной системы координат на поверхности .

2. Уравнения или их векторную форму называют параметризацией поверхности .

3. Одну и ту же поверхность можно задать разными параметризациями.

Пусть : , где

- некоторая параметризация;

- гомеоморфизм, причем .

Тогда :

Новая параметризация поверхности , где

Различие параметризации отличаются тем, что они по разному описывают образование этой поверхности.

Способы задания гладкой поверхности

1-способ - задания гладкой поверхности с помощью регулярной

параметризации .

2-способ - с помощью ясной функции .

- область, гомеоморфная плоскости.

Теорема 1. Вектор-функция , где , , определяет в гладкую поверхность класса , если функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно.

Доказательство простое.

Пример. Гиперболичный параболоид задается явной функцией . Это функция имеет непрерывные частные производные любого порядка. Отсюда выходит, что гиперболичный параболоид - гладкая поверхность класса .

3-способ - с помощью «хорошей» неявной функции

Теорема 2. Пусть - множество нулей неявной функции . Если найдется окрестность такая, что во множестве : 1) в точке отлична от 0 хотя бы одна их частных производных , то найдется окрестность , что - гладкая элементарная поверхность.

Пример. Эллипсоид задается уравнением , где . Непрерывные частные производны имеют вид: . Во всех точках эллипсоида неравны нулю значение хотя бы одной их частных производных. Поэтому для любой точки этой поверхности найдется окрестность такая, что - гладкая элементарная поверхность.

Касательная плоскость и нормаль

Пусть - гладкая поверхность, , - ее параметризация, - некоторая точка. Векторы

Векторы и являются направляющими векторами касательных к линиям ( ) и ( ) соответственно приведенных через точку . Плоскость обладает следующими свойствами:

1) Содержит касательные, приведенные к - линии и - линии в точке .

2) Какова бы ни была гладкая линия , лежащая на поверхности и проходящая через точку , ее касательная лежит на этой плоскости.

Плоскость, в которой лежат касательные по всем линиям, лежащим на поверхности и проходящую через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .