Касательная к регулярной кривой

Пусть - регулярная кривая, - ее регулярная параметризация,

Теорема. В любом точке гладкой кривой найдется касательная прямая, причем .

Доказательство. Прямая является секущей .

Так как является регулярной параметризацией, то найдется произвольная для любой , причем

Когда , то точка М₁, перемещаясь по линии , приближается к точке М₀ и в пределе совпадает с ней. Секущая М₀М совпадает с касательной , направляющий вектор секущий М₀М₁ при становится направляющим вектором касательной касательной .

Уравнение касательной в координатах имеет вид

где

Пример 1. Уравнение касательной к винтовой линии в точке .

Имеем

Пример 2. задана в неявном виде .

Найдем уравнение касательной и нормали в точке .

Уравнение касательной: , где неявная функция, определяющая .

и - частные производные в точке М.

, .

Тогда уравнение касательной: .

Уравнение нормали: .

Длина кривой. Естественная параметризация

Пусть гладкая кривая задана уравнением

(2)

здесь .

Рассмотрим числовой отрезок . При с концами и . Длину дуги , можно вычислить по формуле

(3)

По свойству интеграла с переменным верхним пределом:

(4)

так как , то длина дуги является строго возрастающей функцией от . Такая функция имеет обратную , причем

(5)

То есть обратная функция возрастающая. Из (3) выходит, что функция имеет в промежутке непрерывные производные до порядка к включительно. Пусть , тогда функция на промежутке имеет также непрерывные производные до порядка к включительно, вычисляется по формуле (5). Отсюда выходит, что : - гомеоморфизм, поэтому длина дуги может быть принята за параметр параметризации кривой . Такая параметризация называется естественной. Следовательно, в естественной параметризации задается параметрическим уравнением: