CУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Кавитова Т.В.,
аспирант УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь
Научный руководитель – Гладков А.Л., доктор физ.-мат. наук, профессор
Рассматривается задача Коши для нелинейного псевдопараболического уравнения
(1)
с начальным условием
(2)
Пусть 
. Предположим, что выполнены следующие условия:
определена при 
, 
— при 
,
(3)
локально непрерывна по Гёльдеру по переменной 
в 
с показателем 
для любого 
,
не убывает по
для любого
Определение 1. Решением задачи (1), (2) в 
назовем функцию 
, удовлетворяющую уравнению (1) в и начальному условию (2).
Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
(4)
Замечание.Отметим, что решение задачи (4) может быть неединственным. Так задача (4) с 
и 
имеет решения 
и 
.
Определение 2. Неотрицательное решение 
задачи (4), определенное для значений 
, назовем максимальным на 
, если для любого другого неотрицательного решения 
задачи (4) выполняется неравенство 
при .
Предполагается существование максимального решения 
задачи (4) на промежутке 
, где 
может равняться 
.
Справедливо следующее утверждение.
|
|
|
Теорема.Пусть выполнены условия (3). Тогда для любого 
в существует неотрицательное решение задачи (1), (2), для которого справедливо неравенство
.
Таким образом, для любого установлена теорема существования неотрицательного решения задачи (1), (2) в слое , где — промежуток существования максимального решения вспомогательной задачи Коши (4), построенной по исходной задаче (1), (2).
АППРОКСИМАЦИЯ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ НА ПРИМЕРЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Карниенко В.О.,
студент 1 курса УО «БГУИР», г. Минск, Республика Беларусь
Научный руководитель – Анисимов В.Я., канд. физ.-мат. наук, доцент
Введение
При решении прикладных физических задач возникает необходимость аппроксимации поверхности аналитической функцией достаточно простого вида [1]. Будем полагать, что погрешности измерения координат точек поверхности описываются нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной σ2.
В данной работе рассматривается приближённое представление уравнения поверхности полиномом второй степени наиболее общего вида[1]
|
|
|
Цель работы - исследовать зависимость точности аппроксимации различных модельных поверхностей полиномами вида (1) методом наименьших квадратов от количества контрольных точек, их расположения на модельной поверхности, а также от имитируемых погрешностей измерения.
Решение поставленной задачи
Полином вида (1) есть неявно заданная функция переменных x,y c линейно заданными параметрами A,B,C,… Составим функцию
Для того чтобы функция S имела в точке 
минимум, необходимо, чтобы все частные производные обращались в этой точке в ноль. Продифференцировав правую часть равенства (2) по A,B,…,I, получим систему линейных алгебраических уравнений:
Система (3) имеет единственное решение относительно искомых параметров.
В рамках работы в среде MATLAB были написаны программы, позволяющие получать оптимальные оценки параметров и оценивать их соответствие модельным поверхностям в качестве оценки соответствия использовалась среднеквадратическое отклонение восстановленной поверхности от исходной.
Установлено, что в общем случае для достоверного определения параметров требуется не менее 9 точек. При добавлении случайной погрешности к координате z каждой из 12 точек-вершин вписанного в сферу икосаэдра наблюдается линейная зависимость соответствия найденных параметров исходной модельной поверхности от максимально возможной погрешности. При случайном распределении точек в ограниченной области аппроксимируемой поверхности результат может ухудшаться при добавлении новой точки, если она расположена достаточно близко к уже имеющимся. Если располагать точки так, чтобы их проекции на одну из координатных плоскостей попадали в узлы квадратной сетки, уменьшение шага этой сетки ведёт к попеременному ухудшению и улучшению результатов аппроксимации, однако в целом результаты остаются приемлемыми для практического применения методики.
|
|
|
Выводы
При аппроксимации технологических поверхностей явно заданными уравнениями модельных поверхностей второго порядка методом наименьших квадратов возникает необходимость решения системы нелинейных уравнений, что ведёт к неоднозначности решения. Использование сплайн-интерполяции позволяет аппроксимировать более сложные в макрогеометрическом плане поверхности, однако также усложняет обработку полученных данных. Предлагаемый метод аппроксимации поверхности неявно заданной квадратичной функцией позволяет получить ответ путём решения СЛАУ.
|
|
|
Литература:
1. Соломахо, В.Л. Метрологическое обеспечение координатных измерений в машиностроении / В.Л. Соломахо. – Мн.: Реклама-Факсбелар., 1999. – C. 49-59.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 553; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!