СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ



Никитин А.И.,

студент 5 курса УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Гладков А.Л., доктор физ.-мат. наук, профессор

 

Рассматривается начально-краевая задача для системы полулинейных параболических уравнений

                   (1)

где p,q,m,n>0, W - ограниченная область в Rn (n³1), с достаточно гладкой границей ¶W, с1(x,t), с2(x,t) и k1(x,y,t), k2(x,y,t) – неотрицательные непрерывные функции, определенные при x W, t>0 и x ¶W, y , t>0 соответственно.

Пусть QT=W´(0,T). Будем говорить, что решение задачи (1) существует глобально, если существует решение, определенное в QT для любого T>0.

Рассмотрим задачу на собственные значения

Пусть - собственная функция, соответствующая первому собственному значению , выбранному из условия . Обозначим .

Рассмотрим следующие условия:

                    (2)

                              (3)

(4)

(5)

Теорема 1. Пусть max(pq, m, n) £1. Тогда решение задачи (1) существует глобально для любых коэффициентов с1(x,t), с2(x,t), весовых функций k1(x,y,t), k2(x,y,t) и любых неотрицательных начальных данных.

Теорема 2. Пусть m>1 и выполнено (2) или n>1 и выполнено (3), тогда задача (1), не имеет нетривиального неотрицательного глобального решения.

Теорема 3. Пусть min(m,n)>1 и выполнены условия (4), (5), тогда существует классы функций с1(x,t), с2(x,t) такие, что существует неотрицательное глобально ограниченное решение задачи (1) с достаточно малыми начальными данными.

Таким образом, установлено, что max(pq, m, n) £1 решение существует глобально при любых коэффициентах и начальных данных, а при min(m,n)>1 существование и отсутствие решения зависит от весовых функций и начальных данных.

Распознавание образов методом нейронных сетей.

СЕТЬ ХОПФИЛДА

Сабецкая А.Н.,

преподаватель УО «ВГТК», г. Витебск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Корчевская Е.А., канд. физ.-мат. наук, доцент

Распознавание образов— это отнесение исходных данных к определенному классу с помощью выделения существенных признаков, характеризующих эти данные, из общей массы несущественных данных. Одним из подходов в распознавании образов является использование искусственных нейронных сетей.

Искусственная нейронная сеть(ИНС, нейронная сеть) - это набор нейронов, соединенных между собой. Каждый нейрон преобразует набор сигналов, поступающих к нему на вход в выходной сигнал. Именно связи между нейронами, кодируемые весами, играют ключевую роль. Одно из преимуществ НС это то, что все элементы могут функционировать параллельно, тем самым существенно повышая эффективность решения задачи, особенно в обработке изображений. Кроме того, что НС позволяют эффективно решать многие задачи, они предоставляют мощные гибкие и универсальные механизмы обучения, что является их главным преимуществом перед другими методами. НС обладают хорошей обобщающей способностью, т.е. могут успешно распространять опыт, полученный на конечном обучающем наборе, на всё множество образов.

Нейронная сеть Хопфилда является однослойной и полносвязной (связи нейронов на самих себя отсутствуют), её выходы связаны со входами. НС Хопфилда является релаксационной – т.е. будучи установленной в начальное состояние, функционирует до тех пор, пока не достигнет стабильного состояния, которое и будет являться её выходным значением. Данные сети применяются в качестве ассоциативной памяти и для решения оптимизационных задач. В первом случае нейронная сеть обучается без учителя (например, по правилу Хебба), во втором случае веса между нейронами изначально кодируют решаемую задачу. НС Хопфилда бывают синхронными, когда одновременно пересчитываются все нейроны и асинхронными, когда пересчитывается случайно выбранный нейрон. Для исследования динамики функционирования НС Хопфилда используются методы Ляпунова. Применение данной сети в качестве ассоциативной памяти позволяет точно восстанавливать образы, которым сеть обучена, при подаче на вход искажённого образа. При этом сеть “вспомнит” наиболее близкий образ, и таким образом распознает его. Она состоит из единственного слоя нейронов, число которых является одновременно числом входов и выходов сети.

Задача, решаемая данной сетью в качестве ассоциативной памяти, как правило, формулируется следующим образом. Известен некоторый набор двоичных сигналов (изображений, звуковых оцифровок, прочих данных, описывающих некие объекты или характеристики процессов), которые считаются образцовыми. Сеть должна уметь из произвольного неидеального сигнала, поданного на ее вход, выделить соответствующий образец (если такой есть) или "дать заключение" о том, что входные данные не соответствуют ни одному из образцов. В общем случае, любой сигнал может быть описан вектором X = { xi: i=0...n-1}, n – число нейронов в сети и размерность входных и выходных векторов. Каждый элемент xi равен либо +1, либо -1. Обозначим вектор, описывающий k-ый образец, через Xk, а его компоненты, соответственно, – xik, k=0...m-1, m – число образцов. Когда сеть распознает какой-либо образец на основе предъявленных ей данных, ее выходы будут содержать именно его, то есть Y = Xk, где Y – вектор выходных значений сети: Y = { yi: i=0,...n-1}. В противном случае, выходной вектор не совпадет ни с одним образцовым.

Иногда сеть не может провести распознавание и выдает на выходе несуществующий образ. Это связано с проблемой ограниченности возможностей сети. Для сети Хопфилда число запоминаемых образов m не должно превышать величины, примерно равной 0.15•n, где n-размерность векторов. Кроме того, если два образа А и Б сильно похожи, они, возможно, будут вызывать у сети перекрестные ассоциации, то есть предъявление на входы сети вектора А приведет к появлению на ее выходах вектора Б и наоборот.

Сети Хопфилда, позволяют просто и эффективно разрешить задачу воссоздания образов по неполной и искаженной информации. Невысокая емкость сетей (число запоминаемых образов) объясняется тем, что, сети не просто запоминают образы, а позволяют проводить их обобщение. Вместе с тем, легкость построения программных и аппаратных моделей делают эти сети привлекательными для многих применений.

 

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 581; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!