КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОДНОГО КЛАССА



МОДИФИЦИРОВАННЫХ БЧХ-КОДОВ

 

Михайловский Е.Б.,

студент 1 курса УО «БГУИР», г. Минск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Липницкий В.А., доктор техн. наук, профессор

 

В настоящее время в системах передачи и обработки информации широко применяются различные методы кодирования и шифрования, основанные на использовании конечных полей – полей Галуа [1]. На математике полей Галуа основаны такие широко используемые в настоящее время помехоустойчивые коды, как БЧХ-коды, коды Рида-Соломона и др. [2, 3].

Имеющиеся ЗУ (магнитная лента, записывающий компакт-диск) подвержены механическим повреждениям, размер которых обычно превосходит участок, отводимый записи единичного символа, что приводит к возникновению ошибочного кластера.

Пакетом ошибок длиной называется любая последовательность в векторе ошибок, состоящая из  символов, первый и последний символы которой отличны от нуля (допустимо по циклу).

Очевидно, что если имеется некоторый линейный код, способный исправлять любые случайные ошибки кратностью , то он, по определению, способен исправить любой пакет ошибок длиной . Более содержательной является задача, состоящая в выяснении возможности исправления пакета ошибок, длина которого  превышает число исправляемых независимых случайных ошибок , используя тот факт, что пакет образует специфическую модель ошибок.

Практически каждый код имеет декодирующий потенциал, остающийся, как правило, неиспользуемым. В [4] предлагается путь использования такого потенциала для классического БЧХ-кода  длиной  с проверочной матрицей , , где  – примитивный элемент конечного поля . Доказано [4], что модифицированный код , получаемый из  удалением всех кодовых слов нечетного веса, корректирует двойные ошибки, циклические пакеты ошибок любой нечетной длины, а также каждой четной длины , для которой уравнение , где , не имеет корней в поле  или, что эквивалентно, след  элемента  равен 1.

В рамках этого утверждения обозначим через  наибольшее значение , что корректируются все циклические пакеты ошибок длиной . Задача определения величины  для конкретных кодов осталась открытой.

Данная работа посвящена решению сформулированной задачи. В процессе исследования выяснилось, что решение данной задачи зависит от выбора полинома , порождающего изучаемый БЧХ-код.

Так, над полем  имеется шесть неприводимых полиномов, разбивающихся на 3 пары взаимно двойственных многочленов. Для каждой из этих пар значения , соответствующие одинаковым значениям , совпадают. Получено, что для  – корня неприводимого полинома  (а значит, и для ) – след соответствующего элемента  равен 1, когда ;  при , т.е. . Для  (и для )  при  и  при . Для полиномов  (и для )  уже для .

Над полем  имеется 6 неприводимых примитивных полиномов. Для  и для  и им двойственным ; для  (а значит, и для )  для . Над полем  существует 9 пар неприводимых полиномов. Для  и для  и им двойственным ; для  и  и им двойственным , для остальных  для .

Разработанное программное обеспечение позволяет расширить полученные результаты для кодов над полем , где .

 

Литература:

1. Липницкий, В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа: учебное пособие / В. А. Липницкий. – 2-е изд. – Минск: БГУИР, 2006. – 88 с.

2. Лидл, Р. Конечные поля: в 2 т. / Лидл Р., Нидеррайтер Г. Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 822 с.

3. Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Пер. с англ. – М.: Связь, 1979. – 744 с.

4. Липницкий, В. А. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения / В. А. Липницкий, В. К. Конопелько. – Минск: БГУ, 2007. – 240 с.

 

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 507; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!