Определение характеристик случайных функций по экспериментальным данным



 

Пусть над случайной функцией  произведено n независимых экспериментов и в результате получено n реализаций случайной функции.

Допустим, что на основании этих реализаций мы хотим получить какое-то представление о математическом ожидании , дисперсии  и корреляционной функции  этой случайной функции. Какое бы большое число реализаций мы ни брали, всегда на определение точного вида этих функций будет влиять случайный характер выбора реализаций. Мы никогда не можем быть уверены в том, что добавление новых реализаций не приведет к некоторому, пусть даже совсем незначительному изменению вида определяемых функций, например, математического ожидания.

Поэтому на практике мы всегда можем гарантировать только приближенное совпадение получаемых функций с искомыми, то естьь на практике мы находим функции , ,  такие, что

                                      (2.117)

Такие приближенные, зависящие от случая функции, называют оценками искомых функций.

Проблемы оценки параметров неизвестных случайных величин на основании экспериментальных данных рассматриваются в математической статистике.

Общие требования к оценке  неизвестного параметра заключаются в следующем:

,                                                  (2.118)

.                                        (2.119)

Если выполняется условие (2.118), то оценка называется несмещенной. Несмещенность оценки показывает, что, пользуясь оценкой , мы не допускаем систематической ошибки. Если выполняется условие (2.119), то оценка называется состоятельной. Выполнение этого условия означает, что с увеличением числа экспериментальных данных оценка с вероятностью близкой к 1 приближается к точному значению параметра.

Пусть для случайной величины X на основании эксперимента получены значения . Тогда, как известно, оценки

,                                                  (2.120)

                                             (2.121)

являются состоятельными и несмещенными.

При исследовании случайных функций обычно рассматривают их сечения при значениях аргумента . Каждому такому значению  соответствует n значений случайной функции: . Значения  обычно берутся равноотстоящими. Иногда интервал между соседними значениями t задается частотой работы регистрирующего прибора. Значения , ,  также находятся при тех же значениях аргументов:

,                                            (2.122)

,                                 (2.123)

.               (2.124)

Эргодическое свойство стационарных случайных функций

На практике часто встречаются случаи, когда возможно получение лишь одной реализации случайной функции. Например, реализация случайной функции (распределение яркости, рельеф поверхности или измерение температуры) получена при облете автоматической межпланетной станцией какой-нибудь планеты.

Очевидно, что в общем случае, пользуясь только одной реализацией невозможно получить представление о характеристиках случайной функции. Но для некоторых случайных функций даже одна реализация, полученная на достаточно большом участк.е наблюдения, позволяет правильно определить характеристики этой функции. Про такую функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством, то есть для этой функции осреднение по ансамблю реализаций равносильно осреднению по аргументу, что позволяет существенно упростить процедуру определения ее статистических характеристик.

Свойством эргодичности могут обладать только стационарные случайные функции. Для стационарной случайной функции, обладающей эргодическим свойством, статистические характеристики могут быть найдены осреднением по аргументу конкретной реализации  случайной функции  (для случайных процессов как среднее по времени):

;                                          (2.125)

;                                   (2.126)

.                       (2.127)

Таким образом, если известно, что случайную функцию можно рассматривать стационарной и обладающей эргодическим свойством, то как процесс получения экспериментальных данных, так и процесс вычисления корреляционной функции существенно упрощается. Возможность или невозможность такого рассмотрения обычно удается понять при исследовании существа решаемой задачи.

Пусть, например, исследуются колебания самолета, связанные с турбулентностью атмосферы. Если полеты самолета осуществляются на разной высоте, то при этом меняется плотность атмосферы, поэтому должен изменяться и характер колебаний самолета, то есть нет оснований считать исследуемый процесс обладающим эргодическим свойством.

Если во время этих же полетов осуществляется сканирование местности, то, так как с увеличением высоты полета уменьшается дисперсия получаемых при сканировании реализаций, измеряемую случайную функцию нельзя считать стационарной и, как следствие этого ее нельзя считать обладающей эргодическим свойством.

Поскольку предположение о наличии эргодического свойства у стационарной случайной функции обычно приводит к существенному упрощению проводимых исследований, его обычно принимают во всех тех случаях, когда нет особых оснований считать, что оно не выполняется.

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 191; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ