Дискретное преобразование Фурье

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 16Следующая ⇒

Как известно, при цифровой обработке сигнала непрерывные сигналы представляются в дискретной форме: в виде закодированных отдельных отсчетов. Рассмотренные выше методы частотного анализа использовались лишь для непрерывных сигналов, однако и при цифровой обработке широко используется частное представление сигналов, то есть перевод их из временной или пространственной области в область частот. Для этого применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), во многом аналогичное преобразованию Фурье, используемому для частотного анализа непрерывных сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяет линейчатый спектр дискретизированной периодической функции времени или координаты. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. ДПФ служит для анализа периодических функций и алгоритм этого преобразования можно получить исходя из рядов Фурье.

Пусть непрерывная периодическая функция с периодом T и частотой так что

, (2.199)

где m - целое число.

Тогда функцию можно разложить в ряд Фурье:

, , (2.200)

где коэффициенты разложения определяются из соотношения

. (2.201)

- комплексная величина и из нее можно определить амплитуду и фазу гармоник.

Из теории квантования известно, что однозначная дискретизация функции возможна лишь тогда, когда ее спектр ограничен, то есть

, при , (2.202)

где - значение n, задающее частоту :

. (2.203)

В соответствии с теоремой Котельникова интервал дискретизации (расстояние между отсчетами) равен

, (2.204)

так что число отсчетов на период T будет N:

. (2.205)

В результате дискретизации получим периодическую функцию, которую нормализуем относительно :

. (2.206)

Эта функция определена на интервале

или .

Применим к этой функции преобразование Фурье, тогда

(2.207)

так как , а .

Поменяем знак суммы и интеграл местами и с учетом того, что

(2.208)

получим

. (2.209)

где - общее число отсчетов;

- отдельные отсчеты ;

- номер гармоники.

Обратное дискретное преобразование Фурье, соответственно, имеет вид:

. (2.210)

Тот факт, что спектр является периодическим, вытекает из периодичности любой дискретизированной функции, а дискретный характер спектра связан с тем, что сама дискретизируемая функция периодична. Выборки непрерывной функции и ее спектр после дискретизации представлены на рис.2.21.

Спектр, получаемый в результате ДПФ можно интерпретировать следующим образом. Первые точек соответствуют спектральным линиям спектра непрерывной функции на положительных частотах, как показано на рис.2.21в,г, а последние точек соответствуют спектральным линиям на отрицательных частотах.

Вычисление дискретного преобразования Фурье производится по алгоритму

, (2.211)

где .

Нетрудно получить схему вычислений, позволяющую найти значений (дискретного спектра) по значениям отсчетов .

Пример такого алгоритма представлен на рис.2.22.

Представленный алгоритм очевиден, но он не оптимален, так как требует много вычислений.

Алгоритмы ДПФ, позволяющие достигнуть сокращения вычислительной нагрузки, известны под общим названием «быстрое преобразование Фурье». Следует подчеркнуть, что это не новое преобразование, а всего лишь способ выполнения ДПФ.

Лабораторные работы.

Лабораторная работа № 1.

Модуляция сообщений.

Описание лабораторной работы выполнено с использованием программного продукта Mathcad.

1.Промоделировать процесс модуляции непрерывного сообщения непрерывными видами модуляций (амплитудной, частотной, фазовой).

В качестве исходного непрерывного сообщения взять сигнал x(t)=0.05+k·t, длительностью T=1/k (сек.), где k-номер по списку.

В качестве сигнала переносчика взять гармонический сигнал U(t)=B·cos(10·k·t+φ), где B-взять из таблицы, k-номер по списку, φ=const.

Для этого выполнить:

а) Построить графики сигналов U(t) и x(t);

б) Построить на одном экране графики сигналов x(t) и Sa(t)-промодулированный по амплитуде сигнал U(t):

Sa(t)=B[x(t)]·cos(10·k·t+φ)=B·x(t)·cos(10·k·t+φ).

в) Построить на одном экране графики сигналов x(t) и Sч(t)-промодулированный по частоте сигнал U(t):

Sч(t)=B·{cos[10·k·x(t)·t+φ)=B·cos{10·k·[1+1.5·x(t)]·t+φ}.

г) Построить на одном экране графики сигналов x(t), U(t) и Sф(t)-промодулированный по фазе сигнал U(t):

Sф(t)=B·cos[10·k·t+φ·(x(t))]=B·cos[10·k·t+φ₀·x(t)], где φ₀ при любом t из области задания должно подчиняться условию: φ₀·x_max(t)<2·π.

Промоделировать процесс модуляции непрерывного сообщения импульсными видами модуляции (амплитудно-импульсной, частотно-импульсной и широтно-импульсной)

В качестве исходного непрерывного сообщения взять сигнал x(t)=0.05+k·t длительностью T=1/k.

В качестве сигнала переносчика взять последовательность стандартных импульсов длительностью T=1/k. Амплитуда импульсов равна 1, период следования T_и=0.1·T, скважность равна 0.2.

Для этого выполнить:

а). Построить график последовательности импульсов,задав ее следующим образом:

t:=0,1/100·k                                                                     T=1/k

n:=0,1..20                                                                        n-номер импульса;

Y1(n,t):=if(n·T_и+∆t >t, 1, 0)                                            T_и=0.1·T=0.1/k;

Y2(n,t):=if(n·T_и >t, 1, 0) ∆t-длительность импульса;

Y(n,t):=Y1(n,t)-Y2(n,t) ∆t=0.2·T_и=0.02/k;

Y(t):=Σ Y(n,t) -последоват. импульсов.

б). Построить графики исходного сообщения x(t) и модулированной по амплитуде последовательности импульсов Y_a(t).

Для этого в программе задания последовательности импульсов заменить постоянную амплитуду импульсов (равную 1 ) на переменную-x(t), но в этом случае вершины импульсов не будут плоскими, гораздо лучше произвести замену на x(n×T_и ).

в). Построить графики исходного сообщения x(t) и модулированной по частоте последовательности импульсов Y_ч(t).

Для этого в программе задания последовательности импульсов заменить постоянный период следования импульсов, равный Т_и , на переменный, функционально зависимый от x(t), т.е. Т_и=Т_и(x(t)). Можно взять зависимость Т_и=Т_и ×(1-0.5×x(t)), более грамотно-Т_и=Т_и ×(1-0.5×x(n×T_и)).

г). Построить графики исходного сообщения x(t) и модулированной по ширине последовательности импульсов Y_ш(t).

В этом случае в программе задания последовательности импульсов заменить постоянную длительность импульсов, равный Dt , на переменную, функционально зависимую от x(t), т.е. Dt=Dt(x(t)). Может быть взята зависимость Dt=Dt ×(1+2×x(t)), более грамотно-Dt=Dt ×(1+2×x(n×T_и)).

3.Промоделировать процессы аналого-цифрового преобразования. В качестве исходного сообщения взять гармонический сигнал x(t)=A×cos(k×t) длительностью Т равной 4 периода. Квантование по уровню произвести с постоянным шагом с использованием шести равных интервалов дискретизации, в качестве квантованных значений взять середины интервалов дискретизации. Квантование по времени произвести в соответствиии с теоремой Котельникова.

а). Построить графики исходного сообщения x(t) и соответствующего ему квантованного по уровню сообщения – X_к.у(t), которое, например при А=1, может быть задано следующим образом:

X_к.у(t):=if(x(t)<-2×A/3,-0.82, if(x(t)<-×A/3,-0.50, if(x(t)<0,-0.16, if(x(t)< A/3,0.16, if(x(t)< 2×A/3, 0.50, 0.82))))).

б). Построить графики исходного сообщения x(t) и соответствующего ему квантованного по времени сообщения – X_к.в(t).

В соответствии с теоремой Котельникова интервал между отдельными отсчетами (Dt) находится из соотношения:

Dt=1/2×f_m_,

где f_m=w/2×p (сек.^-1)-максимальная циклическая частота в спектре сигнала;

w- соответствующая ей круговая частота.

Следовательно в рассматриваемом случае

f_m=k/2×p, а Dt=p/k.

Поэтому для построения графика квантованного по времени сообщения X_к.в(t) достаточно построить в соответствующем формате отдельные значения исходного сообщения с интервалом Dt, т.е.

t₁:=0, Dt .. 8×p/k

X_k._в_.(t₁):=A×cos(k×t₁)

в) Провести квантование по времени квантованного по уровню сигнала X_k_.у.(t).Построить график полученного сигнала.

Лабораторная работа №2

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 622; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 141516 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!