Основные свойства преобразования Фурье
1.Свойство линейности.
Если - спектральная плотность сигнала , а - сигнала , то при любых произвольных постоянных и спектральная плотность сигнала
будет равна
(2.49)
что следует из линейности операции интегрирования.
2.Свойство симметрии.
Если сигнал имеет спектральную плотность , то спектральная плотность сигнала будет .
Действительно, как следует из (2.39) при
. (2.50)
Приведем в этом равенстве последовательно ряд замен переменных:
;
;
.
Следовательно, спектральная плотность сигнала равна 2 . Если - четная функция, то и спектральная плотность сигнала равна .
3. Свойство изменения масштаба.
Если сигнал имеет спектральную плотность , то при изменении масштаба исходного сигнала, то есть для сигнала ( -любая действительная постоянная) спектральная плотность равна
.
Действительно:
.
Произведем замену переменных , тогда
а) при
; (2.51)
б) при
. (2.52)
Следовательно, спектральная плотность сигнала равна .
4. Свойство частотного сдвига. Если спектральная плотность сигнала , то сигналу соответствует спектральная плотность , то есть умножение сигнала на сдвигает весь спектр на частоту .
Для доказательства этого свойства применим обратное преобразование Фурье к спектру и произведем замену переменных , тогда
|
|
. (2.53)
Таким образом, сигналу соответствует спектральная плотность .
5. Свойство временного сдвига.
Если есть спектральная плотность сигнала , то сигналу соответствует спектральная плотность . Для доказательства этого свойства применим прямое преобразование Фурье к сигналу и сделаем в нем замену переменных , тогда
. (2.54)
Таким образом, сигналу соответствует спектральная плотность . Другими словами, при сдвиге сигнала на , его амплитудный спектр не меняется, а изменяется только фазовый спектр на величину - .
6. Если сигнал имеет спектральную плотность , а сигнал , то
(2.55)
где – комплексно сопряженная с функция.
7. Если сигнал со спектральной плотностью проходит через некоторое звено с предаточной функцией , то спектральная плотность выходного сигнала равна
. (2.56)
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Если задан непериодический сигнал , физическим представлением которого может быть электрическое напряжение на активном сопротивлении в 1 Ом, то можно найти количество энергии, выделяемое на этом сопротивлении за время действия сигнала:
|
|
. (2.57)
Понятие энергии сигнала имеет смысл только в том случае, если интеграл (2.57) конечен.
Сигналы с конечной энергией называют энергетическими. Если сигналу соответствует спектральная плотность , то используя обратное преобразование Фурье и, меняя порядок интегрирования, можно записать:
(2.58)
Для действительной функции
,
где - комплексно-сопряженна функция, и поэтому
,
причем, как указывалось ранее (§2.4), - четная функция.
Таким образом,
. (2.59)
- называют спектром плотности энергии или спектральной плотностью энергии сигнала, физический смысл которого - энергия, приходящаяся на единицу полосы частот при текущей частоте ω (размерность: ). Соотношение (2.59), известное как равенство Парсеваля, показывает, что энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его действия, можно найти, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики во всем интервале частот.
В отличие от формулы (2.33) формула (2.59) определяет не среднюю мощность, которая для любого непериодического абсолютно интегрируемого сигнала равна 0 (так как ), а полную энергию, выделяемую сигналом за все время его действия.
|
|
Спектральная плотность энергии, характеризующая распределение энергии по спектру сигнала, существует лишь для энергетически ограниченных сигналов (для которых выражение (2.57) конечно), к которым применимо преобразование Фурье. Если же значение интеграла (2.57) бесконечно, то понятие энергии сигнала теряет смысл. В этом случае рассматривают среднюю мощность сигнала. Сигналы с ограниченной мощностью называют мощностными.
Определим среднюю мощность непериодического сигнала как среднюю мощность W, рассеиваемую на активном сопротивлении величиной 1 Ом в течение времени (Т) действия сигнала, тогда:
. (2.60)
Непериодический сигнал представим конечным по времени сигналом :
(2.61)
При конечном Т сигнал имеет конечную энергию, и тогда, в соответствии (2.59), энергия сигнала определится из выражения:
, (2.62)
где - спектральная плотность сигнала . Следовательно,
. (2.63)
Если предел под знаком интеграла существует, то эта функция называется спектральной плотностью мощности , то есть
|
|
. (2.64)
Можно доказать, что и среднюю мощность сигнала W, с учетом четности функции , можно представить в виде:
. (2.65)
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1174; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!