Основные свойства преобразования Фурье



 

1.Свойство линейности.

Если  - спектральная плотность сигнала , а  - сигнала , то при любых произвольных постоянных  и  спектральная плотность сигнала

будет равна

                                      (2.49)

что следует из линейности операции интегрирования.

2.Свойство симметрии.

Если сигнал  имеет спектральную плотность , то спектральная плотность сигнала  будет .

Действительно, как следует из (2.39) при

.                                 (2.50)

Приведем в этом равенстве последовательно ряд замен переменных:

;

;

.

Следовательно, спектральная плотность сигнала  равна 2 . Если  - четная функция, то  и спектральная плотность сигнала  равна .

3. Свойство изменения масштаба.

Если сигнал  имеет спектральную плотность , то при изменении масштаба исходного сигнала, то есть для сигнала  ( -любая действительная постоянная) спектральная плотность равна

.

Действительно:

.

Произведем замену переменных , тогда

а) при

;                             (2.51)

б) при

.                          (2.52)

Следовательно, спектральная плотность сигнала  равна .

4. Свойство частотного сдвига. Если  спектральная плотность сигнала , то сигналу  соответствует спектральная плотность , то есть умножение сигнала  на  сдвигает весь спектр  на частоту .

Для доказательства этого свойства применим обратное преобразование Фурье к спектру  и произведем замену переменных , тогда

.      (2.53)

Таким образом, сигналу  соответствует спектральная плотность .

5. Свойство временного сдвига.

Если  есть спектральная плотность сигнала , то сигналу  соответствует спектральная плотность . Для доказательства этого свойства применим прямое преобразование Фурье к сигналу  и сделаем в нем замену переменных , тогда

. (2.54)

Таким образом, сигналу  соответствует спектральная плотность . Другими словами, при сдвиге сигнала на , его амплитудный спектр не меняется, а изменяется только фазовый спектр на величину - .

6. Если сигнал  имеет спектральную плотность , а сигнал , то

(2.55)

где  – комплексно сопряженная с  функция.

7. Если сигнал  со спектральной плотностью  проходит через некоторое звено с предаточной функцией , то спектральная плотность выходного сигнала  равна

.                                      (2.56)

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

 

Если задан непериодический сигнал , физическим представлением которого может быть электрическое напряжение на активном сопротивлении в 1 Ом, то можно найти количество энергии, выделяемое на этом сопротивлении за время действия сигнала:

.                                                (2.57)

Понятие энергии сигнала имеет смысл только в том случае, если интеграл (2.57) конечен.

Сигналы с конечной энергией называют энергетическими. Если сигналу  соответствует спектральная плотность , то используя обратное преобразование Фурье и, меняя порядок интегрирования, можно записать:

        (2.58)

Для действительной функции

,

где  - комплексно-сопряженна  функция, и поэтому

,

причем, как указывалось ранее (§2.4),  - четная функция.

Таким образом,

.                         (2.59)

 - называют спектром плотности энергии или спектральной плотностью энергии сигнала, физический смысл которого - энергия, приходящаяся на единицу полосы частот при текущей частоте ω (размерность: ). Соотношение (2.59), известное как равенство Парсеваля, показывает, что энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его действия, можно найти, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики во всем интервале частот.

В отличие от формулы (2.33) формула (2.59) определяет не среднюю мощность, которая для любого непериодического абсолютно интегрируемого сигнала равна 0 (так как ), а полную энергию, выделяемую сигналом  за все время его действия.

Спектральная плотность энергии, характеризующая распределение энергии по спектру сигнала, существует лишь для энергетически ограниченных сигналов (для которых выражение (2.57) конечно), к которым применимо преобразование Фурье. Если же значение интеграла (2.57) бесконечно, то понятие энергии сигнала теряет смысл. В этом случае рассматривают среднюю мощность сигнала. Сигналы с ограниченной мощностью называют мощностными.

Определим среднюю мощность непериодического сигнала  как среднюю мощность W, рассеиваемую на активном сопротивлении величиной 1 Ом в течение времени (Т) действия сигнала, тогда:

.                                                      (2.60)

Непериодический сигнал  представим конечным по времени сигналом :

                                                   (2.61)

При конечном Т сигнал  имеет конечную энергию, и тогда, в соответствии (2.59), энергия  сигнала  определится из выражения:

,                               (2.62)

где  - спектральная плотность сигнала . Следовательно,

.                      (2.63)

Если предел под знаком интеграла существует, то эта функция называется спектральной плотностью мощности , то есть

.                                                       (2.64)

Можно доказать, что  и среднюю мощность сигнала W, с учетом четности функции , можно представить в виде:

.                                        (2.65)


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 341; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ