Распределение энергии в спектре периодического сигнала

 

Положим, что сигнал  представляет собой периодическую функцию параметра t с периодом T. Средней за период мощностью сигнала назовем величину

,                                        (2.30)

аналогично тому, как определяется в физике мощность на активном сопротивлении величиной 1 Ом. Представим сигнал  в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, тогда выражение (2.30) предстанет в виде:

.            (2.31)

При возведении в квадрат правой части выражения (2.31) появятся слагаемые следующих видов:

1. ;

2. и     ;

3. произведения синусов и косинусов с аргументами различной кратности.

Постоянная составляющая  после интегрирования даст .

Слагаемые второго вида после приведения к форме:

    и    

и интегрирования в пределах  дают

        и     .

Последний вид слагаемых при интегрировании за период Т обращаются в нуль, как ортогональные функции.

Таким образом, средняя мощность сигнала за период Т выразится следующим соотношением:

,                     (2.32)

где  - постоянная составляющая;

 - амплитуда n-й гармоники сигнала.

При использовании ряда Фурье в комплексной форме и с учетом (2.28) получим:

.                       (2.33)

Итак, средняя мощность сигнала за период T равна сумме средних мощностей постоянной составляющей и гармоник. С энергетической точки зрения отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, что является результатом ортогональности гармонических функций с кратными частотами.

Важно отметить, что мощность сигнала не зависит от величин фаз отдельных гармоник. Таким образом, изменение формы сигнала из-за изменений фазовых соотношений между отдельными гармониками, входящими в спектр сигнала, не влияет на среднюю мощность сигнала.

По виду функции  можно делать выводы о распределенной мощности в спектре периодического сигнала и, следовательно, определять полосу пропускания, обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала.

 

Преобразование Фурье.

 

Любой физически реализуемый сигнал является ограниченным по частоте, по времени и обладает конечной энергией. Ограничение по частоте и энергии следует из инерционности и ограничения мощности реально реализуемых источников сигналов и если сигнал обладает конечной энергией, то он должен быть ограничен и во времени.

С математической точки зрения это означает, что функции , отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и требованию абсолютной сходимости интеграла от модуля функции , то есть

                                          (2.34)

где М - конечная величина.

Очевидно, что непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом (Т), стремящимся к бесконечности. Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно возрастать, так как при  основная частота

                                                     (2.35)

будет стремиться к нулю, а их амплитуды также будут стремиться к нулю.

Следовательно, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте , становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным (сплошным).

Таким образом, выражения для спектрального представления непериодического сигнала можно получить предельным переходом (при ) спектра периодического сигнала, выраженного рядом Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье для периодической функции  запишем в форме, аналогичной (2.24):

                              (2.36)

Периодический сигнал  преобразуется в непериодический сигнал  путем предельного перехода при . При этом основная частота  уменьшается до ,  превращается в текущую частоту , а операция суммирования заменяется операцией интегрирования. Таким образом, ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье:

.                             (2.37)

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

                                        (2.38)

называется прямым преобразованием Фурье, а результат этого преобразования  называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции . Внешний интеграл, являющейся функцией t,

,                                    (2.39)

называется обратным преобразованием Фурье. Эти соотношения безусловно справедливы только для абсолютно интегрируемой функции . Как видно из выражения (2.38), на каждой конкретной частоте значение соответствующей спектральной плотности, а следовательно, и амплитуды равно нулю. Из сравнения выражения (2.39) с рядом Фурье (2.24) видно, что бесконечно малому интервалу частоты  соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой , то есть

.                                     (2.40)

Сравнение выражений (2.38) и (2.25) позволяет пояснить физический смысл понятия «спектральная плотность». Для этого выделив какую-либо дискретную частоту , соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, найдем амплитуду этой гармоники:

.                         (2.41)

Для непериодической функции, совпадающей с периодической на интервале  ее спектральная плотность, соответствующая той же частоте , определяется выражением :

,                                 (2.42)

где T - конечно.

Так как интегралы в правых частях выражений (2.41) и (2.42) полностью совпадают, то

.                                       (2.43)

Учитывая, что

,

где  - циклическая частота, соответствующая круговой частоте , получим:

.                                             (2.44)

Множитель знаменателя 2 в правой части этого выражения учитывает то, что при использовании экспоненциальной формы ряда Фурье, в которой фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны половине амплитуд получаемых при одностороннем разложении.

Таким образом, значение спектральной плотности на частоте  равно отношению половины амплитуды гармоники  к основной частоте периодического сигнала, выраженной в герцах, которая равна полосе частот, отделяющей соседние линии дискретного спектра. Таким образом, физическая суть спектральной плотности – это плотность амплитуд и ее размерность . Из анализа соотношения (2.44) вытекает важное положение: непрерывный спектр (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом:

.

Из выражения (2.38) с учетом формулы Эйлера можно получить выражение для спектральной плотности  а, следовательно, и прямое преобразование Фурье, в тригонометрической форме:

.                          (2.45)

Спектральная плотность  величина комплексная, поэтому для нее справедливо следующее представление

,                               (2.46)

где  - действительная часть ;

 - мнимая часть ;

- модуль  или спектр непериодического сигнала;

 - фаза .

Так как  - четная функция частоты, а  - нечетная относительно частоты , то, как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности  - есть функция четная, а фаза  - нечетная относительно частоты.

Обратное преобразование Фурье так же легко привести к тригонометрической форме. Действительно в соответствии с (2.30) и учетом (2.43) имеем:

  (2.47)

Второе слагаемое из-за нечетности подинтегрального выражения равно нулю, следовательно:

.   (2.48)

Преимуществом тригонометрической формы записи преобразования Фурье является его более простое и удобное физическое толкование.

 

---

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1359; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!