Спектральное представление случайных сигналов



Для описания случайных сигналов, описываемых случайными функциями, может быть применен подход, аналогичный представлению детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов (§2.2).

Действительно, пусть случайная функция  имеет математическое ожидание  и соответствующую центрированную случайную функцию :

.                                      (2.128)

Центрированную случайную функцию  можно выразить в виде суммы ортогональных составляющих, каждая из которых состоит из произведения неслучайной базисной функции  и коэффициента разложения , являющегося случайной величиной:

.                                     (2.129)

Неслучайные базовые функции называют координатными функциями. Коэффициенты разложения  в общем статистически зависимы и эта зависимость может быть задана матрицей коэффициентов корреляции . Для конкретной реализации коэффициенты разложения  могут быть определены из выражения:

,                                     (2.130)

где   - интервал существования случайной функции .

Предположив, что неслучайная функция  ограничена, то есть

,                                       (2.131)

ее также можно представить в виде разложения по ортогональным функциям :

;                                 (2.132)

.                                 (2.133)

Тогда выражение (2.128) с учетом (2.129) и (2.133) преобразуется к виду:

,                             (2.134)

который позволяет существенно упростить линейные преобразования случайного сигнала.

Для определения требований к координатным функциям полезно рассмотреть корреляционную функцию центрированной случайной функции . По определению

         (2.135)

Так как в общем случае

то

.         (2.136)

Если предположить, что коэффициенты  некоррелированы, то есть

то выражение (2.136) существенно упрощается:

.                                (2.137)

В частном случае, при  корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции :

.                                 (2.138)

Поэтому в качестве координатных функций  целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечили бы некоррелированность коэффициентов разложения . Разложение (2.129), использующее такие функции, называют каноническим разложением. В этом случае центрированная случайная функция будет характеризоваться совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайной функции. Этот спектр при каноническом разложении (2.129) является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число линий.

Основной трудностью при использовании канонического разложения является определение координатных функций, однако для стационарных случайных функций эта операция легко выполнима.

 

Частотное представление стационарных случайных сигналов

Для канонического разложения стационарного случайного сигнала , заданного на интервале , рассмотрим его корреляционную функцию  и разложим ее в ряд Фурье. Это разложение возможно, если считать корреляционную функцию периодически продолжающейся с периодом  (при , , ):

,                                    (2.139)

где ;

;

.                                                                                (2.140)

Так как  - четная функция, то выражение (2.139) можно записать в виде:

.                                   (2.141)

Для стационарных случайных функций , поэтому корреляционную функцию  из (2.139) можно представить в виде:

,                (2.142)

что согласно (2.137) является каноническим разложением корреляционной функции, а по нему можно получить каноническое разложение центрированной случайной функции:

,                                    (2.143)

где ,

а каноническое разложение стационарной случайной функции  имеет вид:

.                     (2.144)

Исходя из выражения (2.144), при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами K можно привести каноническое разложение к тригонометрической форме:

,                          (2.145)

где ;

;

;

.

Таким образом, стационарную случайную функцию на ограниченном интервале можно представить совокупностью гармонических составляющих с амплитудами, являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю. На рис.2.16 представлена спектральная диаграмма стационарной случайной функции, на которой каждой гармонике соответствует вертикальный отрезок с длиной, пропорциональной дисперсии ее амплитуды.

 

 

Чтобы получить описание стационарной случайной функции на бесконечном интервале , необходимо перейти к интегральному каноническому разложению, которое может быть получено из выражения (2.139) путем предельного перехода при . При этом переходе, как видно из (2.140), происходит уменьшение значений дисперсий и сокращается расстояние между спектральными линиями, так как

 .

При достаточно большом, но конечном T определим среднюю плотность распределения дисперсии по частоте:

,                                    (2.146)

где  - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте .

Тогда формулы (2.139) и (2.141) с учетом (2.146) можно преобразовать к виду:

,                              (2.147)

,                               (2.148)

и перейдя к пределу при , получим

,                                 (2.149)

где                                               .                              (2.150)

Функцию  называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса , которая характеризует распределение дисперсии случайной функции по частотам.

Следует отметить, что величина  является не только дисперсией  коэффициента разложения корреляционной функции , но и дисперсией  коэффициента разложения случайной функции , поэтому величина , полученная в результате предельного перехода при , представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарной случайной функции, занимающие бесконечно малый интервал частот .

Формулу интегрального канонического разложения корреляционной функции  легко найти из формулы (2.149), подставив вместо τ его значения:

.                    (2.151)

Обозначив  и повторив процедуру предельного перехода при  для формулы (2.143), можно получить каноническое разложение стационарной случайной функции :

,                                      (2.152)

где функция  есть дисперсия случайной функции .

Отметим основные свойства функции спектральной плотности. Для этого воспользуемся формулой Эйлера и перейдем от формулы (2.150) к одностороннему спектру в тригонометрической форме представления:

. (2.153)

Так как функция  четная, то второе слагаемое равно нулю, а первое слагаемое можно преобразовать к виду:

,                               (2.154)

откуда видно, что функция  является действительной и четной функцией, то есть

.

Поэтому в выражении (2.149) тоже можно ограничиться только положительными частотами:

.                                    (2.155)

Выражения (2.149) и (2.150), а также (2.154) и (2.155) являются парами интегрального преобразования Фурье (прямые и обратные). Исходя из свойств преобразования Фурье корреляционная функция  и спектральная плотность  подчиняются закономерности: чем уже одна из них, тем протяженнее вторая, и наоборот.

Интересно отметить, что площадь, ограниченная непрерывной кривой  на спектральной диаграмме, равняется дисперсии  случайной функции . Действительно, положив в формуле (2.155) , получим:

.                                       (2.156)

Если под случайной функцией  подразумевать напряжение, то  можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на активном сопротивлении 1 Ом:

.

Следовательно, величина

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот . Поэтому спектральную плотность  называют еще спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром стационарной случайной функции, поскольку  имеет размерность энергии.

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 165; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ