Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
Определение: график функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вверх, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на этом интервале. График функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вниз, если он расположен выше любой касательной к графику функции на этом интервале.
Теорема: если функция f(x) имеет на интервале (a;b) вторую производную и она является положительной во всех точках этого интервала, то тогда график функции является выпуклым вниз на этом интервале (если вторая производная отрицательная, то выпуклость вверх)
Док-во: рассмотрим f ’’(x)>0 на (a;b). Возьмем точку СÎ(a;b). Необходимо доказать, что функция на (a;b) лежит выше любой касательной. Уравнение касательной в точке С: y=f(c)-f’(c)(x-c) наёдём разность между функцией и касательной используя теорему Лагранжа: f(x)-f(c)-f’(c)(x-c)=f’(c1)(x-c)-f’(c)(x-c)=(f’(c1)-f’(c))(x-c)=f’’(c2)(c1-c)(x-c). Если x>c, то f(x)>y, если x<c, то f(x)>y касательной.
Определение: точка х0 называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует (x0-d;x0+d) в пределах которой график функции слева и справа от х0 имеет разные направления выпуклостей.
Необходимое условие точки перегиба: пусть график функции имеет в точке х0 перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.
Достаточное условие точки перегиба: пусть функция имеет вторую производную в (x0-d;x0+d), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от х0, то график функции имеет перегиб в этой точке.
|
|
|
Асимптоты графика функций
при исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x®+¥ и x®-¥, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.
Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов 
или 
равен ± ¥. Нахождение вертикальных асимптот: 1) точки разрыва и граничные точки на области определения 2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам.
Прямая y=a – горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х®±¥, если 
.
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х®±¥, если саму функцию y=f(x) можно представить в виде f(x)=kx+b+a(x), где 
.
Схема нахождения: вычисляем 
, если этот предел не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем 
, если его нет или он бесконечен, то асимптоты нет.
Схема исследования функции и исследование её графика
1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты
|
|
|
2. точки пересечения с осями.
3. чётность/нечётность
4. периодичность
5. промежутки монотонности и экстремумы
6. Выпуклости, точки перегиба
7. наклонные асимптоты
Формула Тейлора
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные (n+1) порядка. Тогда для любого х в (x0-d;x0+d) найдется такое x(кси)Î(х0;х), такая что справедлива формула: 
- многочлен Тейлора, остаточный член в формуле Лагранжа.
Формула Маклорена: называют формулу Тейлора при х0=0.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 481; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!