Сравнение бесконечно малых величин.
A(x)-б.м.ф., B(x)-б.м.ф. Если
1. 
, то б.м.ф. одного порядка.
2. 
, то А(х)-бесконечно малая более высокого порядка (более высокая степень малой), чем В(х).
3. 
, то А(х)-б.м.ф. более низкого порядка, чем В(х).
4. 
не существует, то А(х) и В(х) – несравнимы.
5. 
, то А(х) и В(х)-эквивалентные б.м.ф.
Теорема: предел функции не изменится, если под знаком предела одну б.м.ф. заменить на эквивалентную ей.
Основные эквивалентности, используемые при вычислении предела (всё при х®0):
Sin x~x; tgx~x; arcsinx~x; arctgx~x; 1-cosx~x2/2; ex-1~x; ax-1~x*ln a; ln(1+x)~x; loga(1+x)~x/lna
Непрерывность функций
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке. 
Замечание: для непрерывной функции можно переставить знак функции и предела, т.е. 
Dх=х-х0 – приращение аргумента функции.
Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) – приращение функции, вызванное приращением аргумента.
Определение: функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа, а в точке х=b непрерывна слева.
|
|
|
Классификация точек разрыва
Если в точке х0 условие непрерывности нарушается, то говорят, что функция в точке х0 терпит разрыв/имеет точку разрыва.
Условие непрерывности: предел справа существует и конечен, предел слева существует и конечен, они равны между собой и равны значению функции в точке.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции справа и слева, но не равны значению функции; если эти пределы равны, то разрыв называется устранимым.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Свойства функций, непрерывных в точке
Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности х0 и непрерывны в точке х0, тогда 1. функции f+g, f*g, непрерывны в точке х0, а функция f/g непрерывна, если g(x0)¹0.
2. Функция g(f(x)) непрерывна в точке х0 (суперпозиция)
3. элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения, в окрестностях которых они определены.
Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|£c для всех xÎ[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.
|
|
|
Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.
Дифференцирование
Понятие производной
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+Dx;f(x0+Dx))на графике функции называется секущей.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента. 
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует) 
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 570; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!