Функция нескольких переменных.



Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zÎZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).

 

Предел функции двух переменных.

Введём понятие дельта окрестности точки M0(x0;y0). M(x;y)ÎUd(M0), .

Определение: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0, за исключением быть может самой точки М0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при х®х0, у®у0. M(x;y)®M0(x0,y0).

Если для любого E>0 существует d>0, такое что для всех х¹х0, у¹у0 и удовлетворяет  => |f(x,y)-A|<E

Теорема: Пусть функция f(M) и g(M) определены на одном и том же множестве D и имеют следующий предел , а , тогда функции g(M)±f(M); g(M)*f(M); g(M)/f(M), при f(M)¹0, так же имеют пределы, которые соответственно равны A±B, A*B, A/B.

Функция z=f(M) называется бесконечно малой при M®M0. Если , то тогда функция может быть представлена в виде: Z(M)=A+a(M)

 

Непрерывность функции 2-х переменных

Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке

Определение: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.

Определение: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.

Функция, z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

 

Частные производные

Рассмотрим функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М, придадим переменной х в М некоторое приращение, зафиксировав при этом у. От точки М перейдём к точке М1: М(x;у)®М1(х+Dх;у), тогда соответствующее приращение функции DxZ=∫f( х+Dх;у)-f(x;y) называется частным приращением по х в точке М.

Если существует , то говорят о том, что существует частная производная , соответственно частная производная по y: .

Если Zx’ определена в окрестности точки М и существует производная этой функции по переменной х, то это производная второго порядка.

Если существует частная производная по у, то её называют смешанной производной второго порядка.

Теорема: Если существуют смешанные производные второго порядка Zxy’’ и Zyx’’, в некоторой окрестности точки М, и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке.

Замечание:

 


Понятие дифференцируемости

Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М.

Определение: функция Z=f(M) называется дифференцируемой в точке М (х;у), если её полное приращение может быть представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy, где А и В – const, a и b-бесконечно малые функции.

Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью: Пусть Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), тогда она непрерывна в этой точке.

Док-во: так как функция Z дифференцируема в точке М, то её полное приращение м.б. представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy. Найдём предел DZ при Dx и Dy стремящихся к нулю. Результат ноль, следовательно функция в точке М непрерывна (по второму определению непрерывности)

 

39. Теорема необходимое условие дифференцируемости: Если Z=f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то она имеет в этой точке частные производные, причем . Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке М, то её приращение может быть представлено в виде DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy. Предположим, что Dy=0, тогда DZх=ADx+a(Dx;0)Dx. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx®0, тогда: . Zx’=A, Zy’=B.

Теорема достаточное условие дифференцируемости: если Z=f(M) имеет частные производные в окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М. то функция дифференцируема в этой точке.

Следствие: из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции.

 

Производные сложных функций

Пусть Z=f(x;y) каждая из переменных в свою очередь является функцией от переменной t: x=x(t), y=y(t). Тогда функция Z=f(x(t);y(t)) является сложной функцией с независимым аргументом t, а х и у – промежуточные переменные.

Теорема: если функции x=x(t) y=y(t) дифференцируемы в точке t, а Z=f(x;y) дифференцируема в точке М(х;у), то функция Z=f(x(t);y(t)) дифференцируема в точке t и производная вычисляется: .

Дифференциал функции

Если Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), то её приращение может быть представлено в виде DZ=ADx +BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy.

Определение: (dz) дифференциалом дифференцируемой функции Z в точке М называется линейная относительно в Dx и Dу часть полного приращения функции в точке М, т.е. dZ=ADx+BDy.

В правой части DZ=ADx +BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy третье и четвертое слагаемые являются бесконечно малыми функциями, по этому можно записать приближённое равенство: DZ»dZ, что используется при приближённом вычислении.

Дифференциал второго порядка:

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 178; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ