Равномерная аппроксимация функций (понятие). 



равномерная аппроксимация функции F(x) на интервале [a,b] некоторой функцией Ф(х) определяется выполнением требования |F(x)-Ф(х)| £ e при всех [ a,b ]. Здесь мы не гарантированы от того, что существует аппроксимирующий многочлен меньшей степени. 

 существует аппроксимирующий многочлен меньшей степени. 

 Возьмем для примера функцию sin(x) и попробуем найти равномерную аппроксимацию ее на [ 0,p/4 ] c точностью e=0.5×10-7 [3]. Взяв разложение в ряд Тейлора, имеем

.

Если учесть, что (p/4)9/9!=3.1336×10-7 >e, видим, что для требуемой точности достаточно ограничиться полиномом 9-й степени.

Обратившись к полиномам Чебышева Tn(x)=Cos( n × arcCos(x) ),                               

т.е. T0(x)=1 , T1(x)= x , T2(x)= 2x2 -1,..., T9(x)= 256x9- 576x7+432x5- 120x3+9x , и учитывая |T9(x)| £1, имеем  

.

Тогда

Если учесть, что , то видим, что равномерную аппроксимацию с той же точностью можно обеспечить полиномом 7-й степени.

В основе методов равномерной аппроксимации лежит теорема Чебышева, утверждающая, что для существования многочлена Pm(x) наилучшего приближения непрерывной функции F(x) необходимо и достаточно существование на интервале [ a,b ] последовательности хотя бы N=m+2 точек x0 < x1 < x2 < ...< xm < xm+1 таких, что

                   F(xi) - Pm(x1) =a×(-1)i× L , i=0 ,1 , ... , m+1        (33)

где a =1 или -1, L =     (при практической реализации вместо точной верхней границы ( sup ) выбирается максимальное из отклонений в указанных точках).

Если среднеквадратичные приближения эффективны и для табличных функций, то равномерные здесь практически беспомощны или требуют колоссальных затрат энергии от решающего задачу. Подробнее об идеологии, технике и оценке качества равномерных приближений см. в [3, 2].

 

Интерполяция функций. 

Пусть некоторая функция F(x) задана в точках x0, x1, ... ,xn значениями f0 , f1 , ... , fn. Задача ее интерполяции состоит в отыскании функции j(x), совпадающей с F(x) в указанных точках (узлах интерполяции)

                               j(xi) = F(xi) , i=0,1 , ... , n .                           (36)

Возьмем в качестве j(x) алгебраический полином n-й степени

                                      Pn(x)=                                   (37)

Подставляя (32) в (31) , получаем систему уравнений

                                                        (38)

решение которой единственно (если все узлы различны) и реализует поставленную задачу (n+1 точка однозначно определяет параболу n-го порядка). Использование (38) является простейшим, хотя и относительно достаточно трудоемким методом построения интерполяционного многочлена: при больших значениях сохраняется та же необходимость предварительного масштабирования во избежание переполнения или потери значности, которую мы обсуждали в 7.1.

Остановимся на других приемах интерполяции.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа. 

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

, (39)

или в компактной форме

                   .

В случае равноотстоящих узлов xk=x0+k×h значение x можно представить в виде x = x0 + t× h и многочлен Лагранжа записать как

             .          (40)

Представления (39)-(40) удобны при одиночных вычислениях, массовое же их использование достаточно трудоемко, кроме линейной 

   (41)

и квадратичной интерполяции

 (42)

Можно показать, что для функций, имеющих в данном диапазоне непрерывные производные до (n+1)-го порядка, остаточный член интерполяционного многочлена (погрешность аппроксимации) не превышает

Rn(f)= .      (43)

Интерполяционный многочлен Лагранжа в случае монотонной функции может быть использован и для решения обратной задачи интерполяции: поиска значения аргумента для заданного значения функции

        .                (44)

В случае немонотонной функции, для которой обратная функция неоднозначна, приходится строить интерполяционный многочлен и решать уравнение Ln(x)=f в выбранном диапазоне.

 

Конечные разности.  

Пусть имеется таблица значений fk функции F(x) для равноотстоящих значений аргумента xk = x0+k×h ( k=0, 1, 2,..,N ).

Величины

     D fk= fk+1  - fk ( k=0, 1, 2,..,N-1 )                        (45)

называются конечными разностями первого порядка,

            D2fk =D fk+1  -D fk = fk+2  -2 fk+1 +fk (k=0, 1, 2,..,N-2)           (46)

- конечными разностями второго порядка и т.д.

Обычно конечные разности записывают в виде таблиц; например,

xk fk D fk D2fk D3fk D4fk
0 1 2 4 0 0
1 3 6 4 0  
2 9 10 4    
3 19 14      
4 33        

     

Можно показать, что отношение  Dmfk / hk  может быть принято за оценку m-й производной функции в точке xk . Возьмем для примера m=2.

Разложим f(xk+2h) и f(xk+h) в ряд Тейлора в окрестности xk

   

и, подставив в D2fk , получаем

           D2fk=fk+2  -2 fk+1 +fk = h2 f ¢¢(xk) + h3 f¢¢¢(xk) + ... ,

откуда

                      f¢¢(xk) =

где O(h) - величина порядка h.

Очевидно, что для функции - многочлена m-го порядка конечные разности m -го порядка должны быть одинаковыми, а m+1 - е и более высоких порядков - нулевыми. Эти соображения могут быть положены в основу табличной экстраполяции (расширения). Так, обнаружив в приведенной таблице постоянство вторых разностей обратным ходом пополняем ее за пределами исходного диапазона.

При практическом использовании конечных разностей следует учитывать быстрый рост погрешности.  

 

Интерполяционные формлы.

     Интерполяционные формулы позволяют отыскивать значения табличной функции в точках, отличных от узлов таблицы, без построения интерполяционного многочлена.

Самыми популярными из них являются интерполяционные формулы Ньютона.

Формула Ньютона интерполирования вперед

удобна для использования в диапазоне узлов, удаленных от конца таблицы, и узел xk подбирают для конкретного значения x так, чтобы величина t = (x- xk) / h принимала значения в диапазоне от 0 до 1 .

Формула Ньютона интерполирования назад

удобна для использования в диапазоне узлов, удаленных от начала таблицы, и узел xk подбирают для конкретного значения x так, чтобы величина t = (xk - x) / h принимала значения в диапазоне от 0 до 1.

Пример. Пусть задана функция и ее конечные разности [ 3 ]

 x k f k D f k D2f k D3f k D4f k
0.1 0.09983 0.09884 -0.00199 -0.00096 0.00002
0.2 0.19867 0.09685 -0.00295 -0.00094  
0.3 0.29552 0.09390 -0.00389    
0.4 0.38942 0.09001      
0.5 0.47943        

При поиске f(0,14) разумнее выбрать начальный узел x=0.1 (h=0.4) и воспользоваться интерполированием вперед   

При поиске f(0,45) разумнее выбрать начальный узел x=0.5 (h=0.5) и воспользоваться интерполированием назад  

При интерполировании в середине таблиц можно пользоваться и другими интерполяционными формулами, которые строятся на основе конечных разностей, последовательно выбираемых из выделенных клеток приведенной таблицы.

  xk-3 f k-3 Df k-3 D2f k-3 D3f k-3 D4f k-3 D5f k-3
  x k-2 f k-2 Dfk-2 D2f k-2 D3f k-2 D4f k-2 D5fk-2
  xk-1 f k-1 Df k-1 D2f k-1 D3f k-1 D4f k-1  
  xk fk Dfk D2fk D3fk    
  xk+1 f k+1 Df k+1 D2f k+1      
  xk+2 f k+2 Df k+2        
  x k+3 fk+3          

Примерами таких формул могут служить следующие представления, где 0 < t < 1 :

интерполяционные формулы Гаусса

интерполяционная формула Стирлинга

интерполяционная формула Бесселя

Существуют и другие представления этих формул с использованием т.н. центральных разностей, первая из которых определяется формулой

                                 d2f(x)= f(x+h/2) - f(x-h/2) .

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 313; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ