Среднеквадратическая аппроксимация функций на интервале.

Аппроксимация алгебраическими многочленами.

Пусть известна некоторая функция F(x), заданная на интервале [a, b] каким-то трудоемким для массовых вычислений выражением. Попытаемся заменить ее более простой функцией, например, алгебраическим многочленом

                  P_m(x)= a₀+a₁x+a₂x²+ . . . + a_mx^m     .                                    ( 13 )

     Потребуем минимума

               R(a₀ , a₁ , a₂ , . . ., a_m )=                ( 14 )

среди всех алгебраических многочленов степени не выше m.

Приравняв нулю частные производные R по a_i, получаем линейную систему:

            

Например, если взять a= -1 , b=1 , то при m=4 имеем систему [20]:

                     

Аппроксимация ортогональными многочленами. 

Рассмотрим задачу аппроксимации функции F(x), заданной на интервале [a, b] , т.н. обобщенным многочленом

                                 P_m(x)=                                    ( 17 )

где j_i(x) - система линейно независимых и ортогональных на [a, b] с весом r(x) функций:

  ( j_i , j_k )=       .       ( 18 )

Минимизация

             R(a₀ , a₁ , a₂ , . . ., a_m )=      ( 19 )

на классе обобщенных многочленов приводит к системе :

     

Возьмем систему тригонометрических функций:

1 , Cos(x) , Sin(x) , Cos(2x) , Sin(2x) , . . . , Cos(mx) , Sin(mx) ,

ортогональных на интервале [0, 2p] :

                        ;

                    

                      

C учетом (20) при r(x)=1 получаем:

             P_m(x)= ,             ( 21 )

где

     ( 22 )

Таким образом, мы получили аппроксимацию тригонометрическим многочленом, или отрезком ряда Фурье.

Полиномы Лежандра (частный случай т.н. сферических функций) определяются в форме

                       L_n(x)=           ,            ( 23 )

откуда для аппроксимации

                            P_m(x)=                                           ( 24 )

имеем

                .              (24a)

Полиномы Чебышева первого рода определяются в виде

                      T_n(x)=Cos( n × arcCos(x) ) ,                           ( 25 )

откуда

T₀(x)=1 , T₁(x)= x , T₂(x)= 2x² -1 , T₃(x)= 4x³-3x ,

T₄(x)=8x⁴-8x²+1 , T₅(x)=16x⁵-20x³+5x , ...

Заметим, что при n>1 для вычисления значений полиномов Чебышева первого рода можно воспользоваться удобным рекуррентным соотношением :  

                      T_n(x) = 2x× T_n-1(x) - T_n-2(x) .                             (25a)

Для этих полиномов обнаруживается ортогональность на интервале [ -1 , 1 ] c весом :

                            ,           (25б)

откуда для аппроксимации

                           P_m(x)=                                         ( 26 )

имеем

    (26а)

Если взять m=4 и F(x)=½x½, то после нахождения коэффициентов

                    a₀=2/p, a₂=-1/3p , a₄= - 4 /15p , a­₁=a₃=0

получаем

                               P₄(x)= .

     

 

При аппроксимации на интервале [0 , ¥) прибегают к использованию полиномов Лагерра, в простейшем случае задаваемых в виде

                         ,                     (27)

(в частности,   

            L₀(x)=1 ,    L₁(x)= x-1 , L₂(x)=x²-4x+2 ,

            L₃(x)=x³-9x²+18x-6 ,  L₄(x)= x⁴-16x³+72x²-96x+24 ,

            L₅(x)= x⁵-25x⁴+200x³-600x²+600x-120 , ...

и рекуррентное соотношение

             L_n+1(x)=(x-2× n-1)× L_n(x) - n²× L_n-1(x) , n ³ 1     )

ортогональных с весом e^-x :

             

и при аппроксимации

                      P_m(x)=  

дающих

                             (27а)

При аппроксимации на всей действительной оси можно воспользоваться полиномами Эрмита (функциями параболического цилиндра)

                      ,                     ( 28 )

первые из которых равны

H₀(x)=1 ,    H₁(x)= 2x , H₂(x)= 4x²-2 , H₃(x)=8x³-12x ,    

     H₄(x)= 16x⁴- 48x²+12 ,    H₅(x)= 32x⁵- 160x³+120x ,

связанных рекуррентным соотношением

             H_n+1(x)= 2x× H_n(x) +2 n× L_n-1(x) , n ³ 1     ,

ортогональных на (- ¥ , ¥ ) с весом

                   

и при аппроксимации

                           P_m(x)=  

дающих   

                 (28а)

Иногда вместо H_n(x) используют полиномы

                                 H^*_n(x)=                                   (29)

с другой нормировкой и единичным коэффициентом при старшей степени.

Аппроксимация полиномами Эрмита наиболее точна в окрестности нуля (здесь весовая функция минимальна).

 

---

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1217; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!