Среднеквадратическая аппроксимация функций на интервале.



Аппроксимация алгебраическими многочленами.

Пусть известна некоторая функция F(x), заданная на интервале [a, b] каким-то трудоемким для массовых вычислений выражением. Попытаемся заменить ее более простой функцией, например, алгебраическим многочленом

                  Pm(x)= a0+a1x+a2x2+ . . . + amxm     .                                    ( 13 )

     Потребуем минимума

               R(a0 , a1 , a2 , . . ., am )=                ( 14 )

среди всех алгебраических многочленов степени не выше m.

Приравняв нулю частные производные R по ai, получаем линейную систему:

            

Например, если взять a= -1 , b=1 , то при m=4 имеем систему [20]:

                     

Аппроксимация ортогональными многочленами. 

Рассмотрим задачу аппроксимации функции F(x), заданной на интервале [a, b] , т.н. обобщенным многочленом

                                 Pm(x)=                                    ( 17 )

где ji(x) - система линейно независимых и ортогональных на [a, b] с весом r(x) функций:

  ( ji , jk )=       .       ( 18 )

Минимизация

             R(a0 , a1 , a2 , . . ., am )=      ( 19 )

на классе обобщенных многочленов приводит к системе :

     

Возьмем систему тригонометрических функций:

1 , Cos(x) , Sin(x) , Cos(2x) , Sin(2x) , . . . , Cos(mx) , Sin(mx) ,

ортогональных на интервале [0, 2p] :

                        ;

                    

                      

C учетом (20) при r(x)=1 получаем:

             Pm(x)= ,             ( 21 )

где

     ( 22 )

Таким образом, мы получили аппроксимацию тригонометрическим многочленом, или отрезком ряда Фурье.

Полиномы Лежандра (частный случай т.н. сферических функций) определяются в форме

                       Ln(x)=           ,            ( 23 )

откуда для аппроксимации

                            Pm(x)=                                           ( 24 )

имеем

                .              (24a)

Полиномы Чебышева первого рода определяются в виде

                      Tn(x)=Cos( n × arcCos(x) ) ,                           ( 25 )

откуда

T0(x)=1 , T1(x)= x , T2(x)= 2x2 -1 , T3(x)= 4x3-3x ,

T4(x)=8x4-8x2+1 , T5(x)=16x5-20x3+5x , ...

Заметим, что при n>1 для вычисления значений полиномов Чебышева первого рода можно воспользоваться удобным рекуррентным соотношением :  

                      Tn(x) = 2x× Tn-1(x) - Tn-2(x) .                             (25a)

Для этих полиномов обнаруживается ортогональность на интервале [ -1 , 1 ] c весом :

                            ,           (25б)

откуда для аппроксимации

                           Pm(x)=                                         ( 26 )

имеем

    (26а)

Если взять m=4 и F(x)=½x½, то после нахождения коэффициентов

                    a0=2/p, a2=-1/3p , a4= - 4 /15p , a­1=a3=0

получаем

                               P4(x)= .

     

 

При аппроксимации на интервале [0 , ¥) прибегают к использованию полиномов Лагерра, в простейшем случае задаваемых в виде

                         ,                     (27)

(в частности,   

            L0(x)=1 ,    L1(x)= x-1 , L2(x)=x2-4x+2 ,

            L3(x)=x3-9x2+18x-6 ,  L4(x)= x4-16x3+72x2-96x+24 ,

            L5(x)= x5-25x4+200x3-600x2+600x-120 , ...

и рекуррентное соотношение

             Ln+1(x)=(x-2× n-1)× Ln(x) - n2× Ln-1(x) , n ³ 1     )

ортогональных с весом e-x :

             

и при аппроксимации

                      Pm(x)=  

дающих

                             (27а)

При аппроксимации на всей действительной оси можно воспользоваться полиномами Эрмита (функциями параболического цилиндра)

                      ,                     ( 28 )

первые из которых равны

H0(x)=1 ,    H1(x)= 2x , H2(x)= 4x2-2 , H3(x)=8x3-12x ,    

     H4(x)= 16x4- 48x2+12 ,    H5(x)= 32x5- 160x3+120x ,

связанных рекуррентным соотношением

             Hn+1(x)= 2x× Hn(x) +2 n× Ln-1(x) , n ³ 1     ,

ортогональных на (- ¥ , ¥ ) с весом

                   

и при аппроксимации

                           Pm(x)=  

дающих   

                 (28а)

Иногда вместо Hn(x) используют полиномы

                                 H*n(x)=                                   (29)

с другой нормировкой и единичным коэффициентом при старшей степени.

Аппроксимация полиномами Эрмита наиболее точна в окрестности нуля (здесь весовая функция минимальна).

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 228; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ