Задача Коши: постановка и пути решение. 



 

Пусть требуется найти функцию y=y(x), являющуюся решением обыкновенного дифференциального уравнения

 F ( x , y , y’ , y’’ , .. ,y(n) ) = 0                                  (1)

и удовлетворяющую условиям

 y(x0) = p0 , y’(x0) = p1 , y’’(x0) = p2 , ... , y(n-1)(x0)=pn-1 .          (2)

( такая задача называется задачей Коши для уравнения (1) ).

Возьмем простейший вариант (1) - линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

    a0 × y(n)+ a1 × y(n-1)+ a2 × y(n-2)+ ... + an-1 × y’+ an × y = f(x) .     (3)

Известно, что общее решение (3) складывается из решения соответствующего однородного уравнения

   a0 × y(n)+ a1 × y(n-1)+ a2 × y(n-2)+ ... + an-1 × y’+ an × y = 0               (4)

 и частного решения (3).

    Для поиска общего решения однородного уравнения возьмем y=ekx и подстановкой в (4) получаем т.н. характеристическое уравнение

   a0 × kn+ a1 × kn-1+ a2 × kn-2+ ... + an-1 × k+ an = 0                  (5)

и, если удастся найти корни этого алгебраического уравнение ( методом Ньютона или каким-то другим ), представить искомое решение в виде

                                  (6)

Заметим, что для комплексно-сопряженных корней k = a ± b i  соответствующие слагаемые в (6) заменяются на

                      eax1×Cos(bx)+C2×Sin(bx) ) .

Если обнаруживается m кратных (совпадающих) корней, соответствующие слагаемые в (6) заменяются на

                    ekx1 + C2×x + ... +Cm-1 ×xm-1 ) .

Например, для уравнения

                        y’’’ - 6 × y’’ + 4 × y’ - 24 × y = 0

соответствующее характеристическое уравнение выступает в форме

                             k3 - 6 × k2+4 × k - 24 = 0 .

Его корни равны 6 , 2× i и  -2× i   и общее решение уравнения имеет вид                                        

             .

Несколько сложнее решается проблема поиска частного (какого-нибудь) решения неоднородного уравнения.

     Если его правая часть f(x) является алгебраическим многочленом m-ой степени, то можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов; представить решение многочленом той же степени, подставить в уравнение и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях.

Так для уравнения

                      y’’’ - 6 × y’’ + 4 × y’ - 24 × y = 48 x2+8x+20

берем y*(x)= Ax2+Bx+C и в результате подстановки и приравнивания коэффициентов получаем систему

                       -12 A + 4 B - 24 C =20

                          8 A - 24 B      = 8

                       - 24 A               = 48 ,

откуда A=-2 , B=-1 , C=0 , т.е. общее решение данного уравнения имеет вид:

-2x2-x .

Если поставить задачу Коши для приведенного уравнения с условиями при x0=0

                          y(0)= 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = 0 ,

то возникает система

                              y(0)= C1 + C2           =1

                             y’(0)= 6C1 +   2C3  -1 =0

                             y’’(0)=36C1 - 4C2  - 4 =0 ,

откуда находим  

                             C1 =0.2 , C2  =0.8 , C3  = -0.1 .

Если правая часть (3) - тригонометрический многочлен, то подход к решению аналогичен рассмотренному. В более общем случае при выборе класса функций, описывающих искомое решение, остается надеяться на интуицию и накопленный опыт решения подобных задач.

Если мы имеем дело с задачей для нелинейного уравнения, то, за исключением частных случаев, не следует питать надежд на получение решения в аналитической форме и разумнее сразу обратиться к поиску численного решения. 

Заметим, что решение задачи для уравнения n-го порядка можно свести к решению системы n уравнений первого порядка. Так задача для уравнения (3) с начальными условиями (2) может быть представлена в виде: 

и

               y(x0) = p0 , z1(x0) = p1 , z2(x0) = p2 , ... , zn-1(x0)=pn-1 .

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 423; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!