Задача Коши: постановка и пути решение.
Пусть требуется найти функцию y=y(x), являющуюся решением обыкновенного дифференциального уравнения
F ( x , y , y’ , y’’ , .. ,y(n) ) = 0 (1)
и удовлетворяющую условиям
y(x0) = p0 , y’(x0) = p1 , y’’(x0) = p2 , ... , y(n-1)(x0)=pn-1 . (2)
( такая задача называется задачей Коши для уравнения (1) ).
Возьмем простейший вариант (1) - линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
a0 × y(n)+ a1 × y(n-1)+ a2 × y(n-2)+ ... + an-1 × y’+ an × y = f(x) . (3)
Известно, что общее решение (3) складывается из решения соответствующего однородного уравнения
a0 × y(n)+ a1 × y(n-1)+ a2 × y(n-2)+ ... + an-1 × y’+ an × y = 0 (4)
и частного решения (3).
Для поиска общего решения однородного уравнения возьмем y=ekx и подстановкой в (4) получаем т.н. характеристическое уравнение
a0 × kn+ a1 × kn-1+ a2 × kn-2+ ... + an-1 × k+ an = 0 (5)
и, если удастся найти корни этого алгебраического уравнение ( методом Ньютона или каким-то другим ), представить искомое решение в виде
(6)
Заметим, что для комплексно-сопряженных корней k = a ± b i соответствующие слагаемые в (6) заменяются на
eax(С1×Cos(bx)+C2×Sin(bx) ) .
Если обнаруживается m кратных (совпадающих) корней, соответствующие слагаемые в (6) заменяются на
ekx(С1 + C2×x + ... +Cm-1 ×xm-1 ) .
Например, для уравнения
y’’’ - 6 × y’’ + 4 × y’ - 24 × y = 0
|
|
соответствующее характеристическое уравнение выступает в форме
k3 - 6 × k2+4 × k - 24 = 0 .
Его корни равны 6 , 2× i и -2× i и общее решение уравнения имеет вид
.
Несколько сложнее решается проблема поиска частного (какого-нибудь) решения неоднородного уравнения.
Если его правая часть f(x) является алгебраическим многочленом m-ой степени, то можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов; представить решение многочленом той же степени, подставить в уравнение и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях.
Так для уравнения
y’’’ - 6 × y’’ + 4 × y’ - 24 × y = 48 x2+8x+20
берем y*(x)= Ax2+Bx+C и в результате подстановки и приравнивания коэффициентов получаем систему
-12 A + 4 B - 24 C =20
8 A - 24 B = 8
- 24 A = 48 ,
откуда A=-2 , B=-1 , C=0 , т.е. общее решение данного уравнения имеет вид:
-2x2-x .
Если поставить задачу Коши для приведенного уравнения с условиями при x0=0
y(0)= 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = 0 ,
|
|
то возникает система
y(0)= C1 + C2 =1
y’(0)= 6C1 + 2C3 -1 =0
y’’(0)=36C1 - 4C2 - 4 =0 ,
откуда находим
C1 =0.2 , C2 =0.8 , C3 = -0.1 .
Если правая часть (3) - тригонометрический многочлен, то подход к решению аналогичен рассмотренному. В более общем случае при выборе класса функций, описывающих искомое решение, остается надеяться на интуицию и накопленный опыт решения подобных задач.
Если мы имеем дело с задачей для нелинейного уравнения, то, за исключением частных случаев, не следует питать надежд на получение решения в аналитической форме и разумнее сразу обратиться к поиску численного решения.
Заметим, что решение задачи для уравнения n-го порядка можно свести к решению системы n уравнений первого порядка. Так задача для уравнения (3) с начальными условиями (2) может быть представлена в виде:
и
y(x0) = p0 , z1(x0) = p1 , z2(x0) = p2 , ... , zn-1(x0)=pn-1 .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 423; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!