Решение систем нелинейных уравнений.



системы уравнений можно решать теми же методами, что и обычные уравнения.

 

Можно применить и метод простой итераций, заменив каждое из уравнений системы на их эквиваленты ну и все как обычно, только с двумя уравнениями одновременно.

Еще есть Метод Зейделя, он именно для систем и является модифицированным методом простых итераций. Его отличие в том, что у нас же система и мы ищем сразу несколько иксов, так вот для подсчета каждого икса мы используем предыдущий вычисленный (все в рамках одной итерации).

 Важным условием сходимости этого метода является то, что ||A||<1, т.е. норма матрицы должна быть меньше 1 (проще говоря, все коэффициенты в уравнении должны быть в сумме меньше 1). Если это условие не выполняется, то надо попробовать попереставлять уравнения, чтобы достигнуть выполнение этого условия.

 

Также можно использовать и метод Ньютона. Для системы n уравнений сделаем матрицу W(X) в которую запишем частные производные, и теперь мы можем в цикле искать иксы по формуле:

Xk+1=Xk - W^-1(Xk)*F (Xk)

 

4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.  

Метод Гаусса (схема полного исключения, сведение к треугольной матрице, проблема погрешности, схема главных элементов).

 Метод Гаусса.

 

Схема единственного деления .Делим первое уравнение на Первый его коэффициент А11, если он больше нуля, а затем исключаем переменную из остальных уравнений, для этого надо из каждого уравнения вычесть первое предварительно его умножив на коэффициент при той переменной, которую мы убираем. И так мы исключаем остальные переменные. Потом делаем обратный ход и начиная с конца с помощью подстановки находим иксы. В общем смотрите в видео, там все намного яснее.

 

Схема полного исключения. Тут то же самое что и в предыдущем, только переменные исключаются не только из последующих уравнений, но и из предыдущих.

 

Схема главных элементов. Здесь мы делим уравнение не на первый его ненулевой коэффициент, а на самый большой по модулю. И также исключаем соответствующую этому элементу переменную из следующих уравнений

 

Разложение матрицы в произведение треугольных и метод Краута.

Схема Холецкого заключается в том, что любую квадратную матрицу размерности n (т.е. матрицу nxn) можно разложить на произведение двух треугольные матрицы. У одной по правую сторону от главной диагонали будут нули, а у другой главная диагональ будет вся в единицах и по левую сторону от диагонали будут нули.

A=B*C                

 элементы этих матриц находятся по следующим формулам:

Элементы матрицы В (той, где нули с правой стороны):

b11=a11, bij=aij - сумма(bik*ckj), где k=1,...,j-1, при i>=j>1

Элементы матрицы С, где диагональ с единицами:

с1j=a1j/b11, cij=(1/bii)*(aij - сумма(bik*ckj)), где k=1,...,i-1, при 1<i<j

Вот мы разложили матрицу на две, зачем? Чтобы воспользоваться методом Краута. Он заключается в том, что исходное уравнение AХ=D, мы теперь можем заменить на два других, т.к. матрицу A мы разложили на B и C, то получим два уравнения BY=D, CX=Y

Сначала понятное дело находим игрики, а потом уже иксы. Находятся и те, и другие тоже по формулам:

 

Метод квадратных корней. 

Идея методов итераций (последовательных приближений) состоит в преобразовании системы уравнений AX=B к системе

Практически то же самое что и метод Краута на пару со схемой Холецкого, но только этот метод для симметрических матриц, таких у которых Aij=Aji.

 

Любую симметрическую матрицу можно разложить на такое произведение:

A=R*Rt, где Rt-транспонированная матрица (эта такая матрица, у который на месте столбцов стоят строки и наоборот, у симметрических матриц транспонированная им равняется).

А вот чтобы найти второй множитель R, надо посчитать ее элементы опять таки по формулам:

rii=корень(aii-сумма(rki^2)), где k=1,...,i-1, i=1...n

rij=(1/rii)* (aij - сумма(rki*rkj)), где k=1,...,i-1, j=i+1...n

Нашли матрицу R, теперь также как и в методе Краута заменяем исходное уравнение на два других с использованием найденной треугольной матрицы R на RtY=B, RX=Y

И снова по формулам ищем Y:

     


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 168; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ