Поиск максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора (степенной метод, метод скалярных произведений).   



Собственные вектор матрицы это такой ненулевой вектор Х, при котором (A -uE)x=0, u - собственное значение матрицы, E - единичная матрица.

Сначала находят собственные значения матрицы. Чтобы это сделать нужно составить и решить характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение равно определителю матрицы |A-uE|, у такой матрицы нужно у всех элементов главной диагонали отнять u и потом уже вычислять определитель, это и будет уравнение. Решаем как угодно, корни этого уравнения будут собственными значениями. Теперь можно найти и собственные вектора (для каждого значения свой вектор, если они не совпадают конечно). Чтобы найти вектор нужно подставить в матрицу у которой мы находили определитель

A-uE собственное значение, которое нашли и решить это уравнение, так вы найдете иксы, которые и являются собственным вектором. И так решаем для каждого собственного значения.

 

Так находят векторы и значения в ручную. Есть методы итерационные. Первый это Степенной метод. Здесь нам нужно выбрать начальный вектор приближения, выбираем любой. Умножаем его на нашу матрицу и получаем какой-то вектор (это первая итерация) и в этом вектор нужно найти максимальный элемент по модулю. Нашли максимальный и теперь находим следующее приближение Х*, чтобы его найти нужно разделить все элементы вектора на его максимальный элемент (который уже нашли). Теперь вновь умножаем матрицу на X* и находим максимум здесь, делим все элементы на максимум и находим новый X* и т.д.

 

6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

Аппроксима́ция, или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

В качестве критерия согласия используют три условия:

1) точное совпадение значений искомой функции с “экспериментом” - со значениями в узлах таблицы (критерий интерполяции);

2) сумма квадратов отклонений значений искомой и табличной функций минимальна (критерий среднеквадратической аппроксимации);

3) максимальное по абсолютной величине из отклонений значений искомой и табличной функций минимально (критерий равномерной аппроксимации).

 

Среднеквадратическая аппроксимация и метод наименьших квадратов.

Пусть имеется таблица N значений аргумента xi и соответствующих значений функции Fi

Поставим задачу поиска функции из класса алгебраических многочленов m -го порядка

                        F(x)= a0+a1x+a2x2+ . . . + amxm                                              ( 1 )

такой, что сумма квадратов отклонений ее от табличной функции

                                         ( 2 )

является минимальной.

Очевидно, что частные производные функции R при оптимальном выборе неизвестных коэффициентов многочлена должны обращаться в нуль, откуда возникает система уравнений

             ,   ( 3 )

или

.

Если обозначить через

                                 ,                                     ( 4 )

то из (3) с учетом (1) возникает система линейных алгебраических уравнений с симметрической матрицей коэффициентов, определитель которой отличен от нуля (если значения xi не равны константе), что гарантирует существование и единственность ее решения (для решения можно воспользоваться любым из известных методов, в частности, методом квадратных корней)

                              ( 5 )

Как частный случай (1) можно получить аппроксимацию линейной функцией

                                      F(x)= a+b× x                                    ( 6 )

с коэффициентами

                                 ,                     (6a)

аппроксимацию квадратичной функцией

                               F(x)=a+b×x+c×x2                                 ( 7 )

с коэффициентами, получаемыми решением системы

                                                          (7a)

или какую-либо другую.

MatLab достаточно задать векторы X, F , степень полинома m:

for k=1: m+1

            T(:,k)=X'.^(k-1);

         end

         R=T'*T;

         B=T'*F';

         A=R\B

при больших степенях полинома и неудачном выборе масштаб для значений х может возникнуть “потеря значности” (обращение коэффициентов при высших степенях в нуль) или “прерывание по переполнению разрядной сетки”. Это чревато большой погрешностью. Поэтому к степеням выше 5-6 обычно не прибегают

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 422; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ