Вычисление несобственных интегралов.



Интеграл по неограниченному промежутку

                                       

расходится при a £ 1 и сходится при a >1 .

Но даже при уверенности в сходимости интеграла прямое применение квадратурной формулы нереально из-за необходимости как-то ограничить интервал интегрирования и затем долго дробить его на подынтервалы с надеждой добиться близости оценок. С такими ф-ми поступаем так. Так для интегралов

                                         ,

где  f(x) - ограниченная знакопостоянная функция, при x®¥ стремящаяся к нулю быстрее чем 1/x , разумно найти корни синуса и заменить этот интеграл суммой интегралов

                                   ;

вычисление каждого из интегралов можно вести обычным путем по облюбованной квадратурной формуле (с точностью, например, на порядок выше заданной) и перебирать эти интегралы до тех пор, пока оценка очередного интеграла (или отношение ее к сумме предыдущих интегралов) не окажется меньше заданной точности (это следует из теоремы - утверждения о том, что погрешность вычисления суммы знакочередующегося ряда не превышает величины отбрасываемого члена).

Если для f(x) отсутствует ограничение знакопостоянства, то такой подход иногда может привести к неверным результатам (по возможности найдите не только корни синуса, но и корни f(x)).

Если подынтегральная функция знакопостоянна, то можно зафиксировать постоянную длину подынтервалов и последовательно накапливать сумму соответствующих оценок интегралов до тех пор, пока не выполнятся условия по точности (обычно завышенной на порядок).

Кубатурные формулы.

При вычислении двойных интегралов вместо термина “квадратурная формула” используется термин “кубатурная формула”.

Для построения кубатурной формулы берется сетка (равномерная или неравномерная) точек, покрывающая область интегрирования, и строится формула

                         .      ( 24 )

Например, если область интегрирования есть прямоугольник

                                  S = [ a £ x £ b , c £ y £ d ] ,

то можно построить кубатурную формулу Симпсона [9]

, где h = b - a , k = d - c .

Для многоточечной ( 2n разбиений по x и 2m - по y ) кубатурная формула Симпсона имеет вид

 ;(25)

ee коэффициенты есть элементы матрицы:

  1 4 2 4 2 ... 4 2 4 1
  4 16 8 16 8 ... 16 8 16 4
  2 8 4 8 4 ... 8 4 8 2
L=  ... ... ... ... .... ... ... ... ... ...
  2 8 4 8 4 ... 8 4 8 2
  4 16 8 16 8 ... 16 8 16 4
  1 4 2 4 2 ... 4 2 4 1

 

Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло.

 

Легко видеть, что при разбиении двумерной области интегрирования по каждой переменной на N частей объем вычислений здесь имеет порядок N2.

Если обратиться к вычислению интегралов кратности n, то аналогичный подход требует объема вычислений порядка Nn и при n>3 (есть приложения, где имеют дело с кратностью 10 и выше) о реальных вычислениях помышлять не приходится.

       Для области интегрирования S  отыскивается n- мерный параллелепипед    R = [ ai £ x i £ b i , i =1,..,n ] такой, что SÌR, и подвергается “бомбардировке” M случайными, но равномерно распределенными в нем точками

                   .         ( 27 )

Величина

                        ,                           ( 28 )

где N - количество точек, попавших в S, может быть принята за оценку интеграла.

Для отыскания приемлемого значения N можно воспользоваться законом больших чисел и прийти к оценке [5]

                                           ,                                       ( 29 )

где e - заданная абсолютная погрешность, d - вероятность ошибки.

Если задаться погрешностью 0.001 и вероятностью ошибки 0.01, то имеем “фантастическое” значение N=25 000 000 ! Но обратите внимание, что оценка N не зависит от кратности интеграла n. Если область интегрирования является единичным кубом, то при точности порядка 0.001 объем вычислений на равномерной сетке имеет порядок 1000n и при n>2 эта оценка превышает вышеприведенную. Разумеется, ни о какой бескомпьютерной реализации методов Монте-Карло не может быть и речи.

 

В составе любой среды программирования имеется датчик случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1) . Фактически эти числа являются псевдослучайными .

Для формирования случайной точки n - мерного параллелепипеда берем n очередных случайных чисел 0 £ zi £ 1 ( i=1,..,n) и получаем координаты точки (27)

                               xi (k) =ai +( bi - ai ) zi   ( i=1,..,n) .

При реальных расчетах величину N числа испытаний выбирают с учетом (29), варьируя ее вдвое или вдесятеро до близости получаемых оценок интеграла.

Заметим, что методы Монте-Карло могут успешно использоваться при решении многих задач, сводящихся к поиску экстремумов функций многих переменных .

Методы Монте-Карло получили “право на существование” лишь с появлением ЭВМ и с учетом постоянного роста их быстродействия становятся вполне рутинным инструментом вычислений. Если на вычисление 20-кратного интеграла в 1959 г. требовалось около получаса машинного счета, то сегодня за это время можно получить оценку с тысячекратно большей точностью.

 

8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 168; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ