Вычисление несобственных интегралов.
Интеграл по неограниченному промежутку
расходится при a £ 1 и сходится при a >1 .
Но даже при уверенности в сходимости интеграла прямое применение квадратурной формулы нереально из-за необходимости как-то ограничить интервал интегрирования и затем долго дробить его на подынтервалы с надеждой добиться близости оценок. С такими ф-ми поступаем так. Так для интегралов
,
где f(x) - ограниченная знакопостоянная функция, при x®¥ стремящаяся к нулю быстрее чем 1/x , разумно найти корни синуса и заменить этот интеграл суммой интегралов
;
вычисление каждого из интегралов можно вести обычным путем по облюбованной квадратурной формуле (с точностью, например, на порядок выше заданной) и перебирать эти интегралы до тех пор, пока оценка очередного интеграла (или отношение ее к сумме предыдущих интегралов) не окажется меньше заданной точности (это следует из теоремы - утверждения о том, что погрешность вычисления суммы знакочередующегося ряда не превышает величины отбрасываемого члена).
Если для f(x) отсутствует ограничение знакопостоянства, то такой подход иногда может привести к неверным результатам (по возможности найдите не только корни синуса, но и корни f(x)).
Если подынтегральная функция знакопостоянна, то можно зафиксировать постоянную длину подынтервалов и последовательно накапливать сумму соответствующих оценок интегралов до тех пор, пока не выполнятся условия по точности (обычно завышенной на порядок).
|
|
Кубатурные формулы.
При вычислении двойных интегралов вместо термина “квадратурная формула” используется термин “кубатурная формула”.
Для построения кубатурной формулы берется сетка (равномерная или неравномерная) точек, покрывающая область интегрирования, и строится формула
. ( 24 )
Например, если область интегрирования есть прямоугольник
S = [ a £ x £ b , c £ y £ d ] ,
то можно построить кубатурную формулу Симпсона [9]
, где h = b - a , k = d - c .
Для многоточечной ( 2n разбиений по x и 2m - по y ) кубатурная формула Симпсона имеет вид
;(25)
ee коэффициенты есть элементы матрицы:
1 | 4 | 2 | 4 | 2 | ... | 4 | 2 | 4 | 1 | |
4 | 16 | 8 | 16 | 8 | ... | 16 | 8 | 16 | 4 | |
2 | 8 | 4 | 8 | 4 | ... | 8 | 4 | 8 | 2 | |
L= | ... | ... | ... | ... | .... | ... | ... | ... | ... | ... |
2 | 8 | 4 | 8 | 4 | ... | 8 | 4 | 8 | 2 | |
4 | 16 | 8 | 16 | 8 | ... | 16 | 8 | 16 | 4 | |
1 | 4 | 2 | 4 | 2 | ... | 4 | 2 | 4 | 1 |
Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло.
|
|
Легко видеть, что при разбиении двумерной области интегрирования по каждой переменной на N частей объем вычислений здесь имеет порядок N2.
Если обратиться к вычислению интегралов кратности n, то аналогичный подход требует объема вычислений порядка Nn и при n>3 (есть приложения, где имеют дело с кратностью 10 и выше) о реальных вычислениях помышлять не приходится.
Для области интегрирования S отыскивается n- мерный параллелепипед R = [ ai £ x i £ b i , i =1,..,n ] такой, что SÌR, и подвергается “бомбардировке” M случайными, но равномерно распределенными в нем точками
. ( 27 )
Величина
, ( 28 )
где N - количество точек, попавших в S, может быть принята за оценку интеграла.
Для отыскания приемлемого значения N можно воспользоваться законом больших чисел и прийти к оценке [5]
, ( 29 )
где e - заданная абсолютная погрешность, d - вероятность ошибки.
Если задаться погрешностью 0.001 и вероятностью ошибки 0.01, то имеем “фантастическое” значение N=25 000 000 ! Но обратите внимание, что оценка N не зависит от кратности интеграла n. Если область интегрирования является единичным кубом, то при точности порядка 0.001 объем вычислений на равномерной сетке имеет порядок 1000n и при n>2 эта оценка превышает вышеприведенную. Разумеется, ни о какой бескомпьютерной реализации методов Монте-Карло не может быть и речи.
|
|
В составе любой среды программирования имеется датчик случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1) . Фактически эти числа являются псевдослучайными .
Для формирования случайной точки n - мерного параллелепипеда берем n очередных случайных чисел 0 £ zi £ 1 ( i=1,..,n) и получаем координаты точки (27)
xi (k) =ai +( bi - ai ) zi ( i=1,..,n) .
При реальных расчетах величину N числа испытаний выбирают с учетом (29), варьируя ее вдвое или вдесятеро до близости получаемых оценок интеграла.
Заметим, что методы Монте-Карло могут успешно использоваться при решении многих задач, сводящихся к поиску экстремумов функций многих переменных .
Методы Монте-Карло получили “право на существование” лишь с появлением ЭВМ и с учетом постоянного роста их быстродействия становятся вполне рутинным инструментом вычислений. Если на вычисление 20-кратного интеграла в 1959 г. требовалось около получаса машинного счета, то сегодня за это время можно получить оценку с тысячекратно большей точностью.
|
|
8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 506; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!