Необхідною і достатньою умовою стійкості САК є розміщення всіх коренів її характеристичного рівняння у лівій частині комплексної площини.
У випадку розміщення хоча б одного кореня в правій частині – система нестійка, а при розміщенні кореня на уявній осі – система знаходиться на межі стійкості.
Комплексна площина – це площина, яку утворюють дійсна і уявна осі.
Комплексні числа, форми представлення комплексних чисел
Повторимо матеріал з математики, який під час вивчення подальшого матеріалу буде нам потрібний.
У математиці ми вивчали послідовно такі числа:
а. додатні цілі;
б. від’ємні цілі (до них приводить дія віднімання цілих чисел);
в. дробові числа раціональні й ірраціональні (до них приводить дія ділення).
Вказані числа відносяться до дійсних чисел і їх зображують на числовій осі. Згодом виникла потреба ввести додатково уявні й дійсні числа.
г. уявні числа одержують в результаті добування квадратного кореня з від’ємних чисел. Уявне число – це число, рівне кореню квадратному з від’ємного дійсного числа 
, де а будь-яке дійсне число. Уявною одиницею є число рівне кореню квадратному з мінус одиниці: 
;
д. комплексні числа – це числа, які складаються з дійсної і уявної частин: 
. Тут α та β – дійсні числа. Комплексні числа в шкільному курсі математики ми вивчали під час вивчення квадратних рівнянь Рівняння, в яких дискримінант від’ємний, приводять до комплексних чисел. Комплексні числа утворюють повну множину чисел відносно будь-якої математичної дії, тобто таку множину, що ніякі математичні дії не можуть привести до чисел, які б не входили у цю множину.
|
|
|
Комплексні числа прийнято зображувати на комплексній площині. Комплексну площину утворюють дійсна та уявна осі. Дійсну частину комплексного числа зображують за горизонтальною числовою віссю, а уявну за вертикальною віссю. Приклад зображення комплексного числа на комплексній площину показано на рис. 4.8.
Рис. 4.8 – Комплексна площина
Комплексні числа виникають під час спроби розв’язати квадратне рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння
х2+4х+8 =0.
Для знаходження його розв’язку визначимо дискримінант рівняння
.
Дискримінант рівняння від’ємний, отже потрібно ввести уявне число для його запису.
Рішення рівняння матиме вигляд
Тобто дане квадратне рівняння має два розв’язки. Ці розв’язки є комплексними числами і відрізняються знаком перед уявною частиною. Вони показані на рис.4.8. Такі два розв’язки називають комплексно спряженими. Будь-яке алгебраїчне рівняння, коефіцієнти якого є дійсними числами, якщо має комплексні корені, то вони обов’язково комплексно спряжені
Комплексне число може бути записане в алгебраїчній, тригонометричній та степеневій формі.
|
|
|
Алгебраїчна форма комплексного числа – це значення дійсної і уявної частин:
(4.17)
На рис. 4.8 показано ряд чисел в алгебраїчній формі.
Тригонометрична форма комплексного числа передбачає подання довжини радіуса вектора r і кута, утвореного радіус-вектором з дійсною віссю j:
. (4.18)
Між цими формами існує співвідношення
(4.19)
Та зворотне співвідношення
(4.20)
Степенева форма комплексного числа - це запис комплексного у вигляді
. (4.21)
З урахуванням формул Ейлера
, 
(4.22)
, 
. (4.23)
тригонометрична форма (4.18) відповідає степеневій (4.21)
Тут ми розглянули надзвичайно важливе в ТАК питання, а саме: умова стійкості САК, і разом з тим приведено матеріал математики, який потрібен для подальшого вивчення і розуміння предмету ТАК.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 935; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!