Складання рівняння динаміки двигуна



 

Від генератора живиться двигун. Якщо підходити строго, то напруга в колі генератор – двигун, яка прикладається до двигуна, не дорівнює напрузі холостого ходу генератора. Вона дещо інша і залежить від внутрішнього опору генератора та величини струму в колі. Ми вважатимемо, що режим роботи генератора не досить завантажений і напруга на його виході приблизно рівна напрузі холостого ходу. Тобто маємо:

                                           (3.10)

Рівняння динаміки двигуна в нашій системы керування повинно пов’язувати напругу на вході двигуна – Uд  і швидкість обертання вала ротора – w.

Параметри двигуна такі:  – опір обмотки ротора;  – індуктивність ротора; J – момент інерції ротора; С – постійна двигуна. Якщо швидкість обертання ротора w виражати в радіанах за секунду (1/с), то для двигуна справедливі такі співвідношення:

Е(t) = Сw(t)                                                           (3.11)

Мд(t) = Сія(t)                                                                            (3.12)

тут  – струм ротор двигуна;

 – електрорушійна сила (ЕРС), яка наводиться в роторі, під час обертання його в магнітному полі статора двигуна.

Мд(t) – момент сили, який розвиває двигун.

 

Щоб одержати рівняння динаміки двигуна використаємо закон Ома для опису електричного кола і другий закон Ньютона для опису механічної частини. Розглянемо еквівалентну схему електричного кола двигуна показану на рис.3.5

 

 

Рис.3.5 – Еквівалентна електрична схема двигуна

 

Для електричного кола маємо:

                                (3.13)

Тут напруга на двигуні дорівнює сумі наведеної в якорі ЕРС, спаду напруги на активному опорі обмотки якоря та спаду напруги на індуктивному опорі якоря.

Для механічної частини маємо:

                                     (3.14)

тут Mf(t) – момент зовнішнього навантаження прикладеного до валу двигуна.

Це звичайне рівняння другого закону Ньютона F=ma для випадку обертового руху, а саме: момент інерції помножений на кутове прискорення дорівнює сумарному моменту сил.

Якщо в рівнянні (13) використаємо (11), а в (14) – (12), то маємо систему рівнянь:

                               (3.15)

Для спрощення системи і запису рівняння динаміки двигуна вилучимо з системи рівнянь струм якоря. Знаходимо з другого рівняння системи:

 

                                   (3.16)

Підставляємо в перше рівняння системи

та виконавши перетворення отримаємо рівняння динаміки двигуна:

  (3.17)

Як правило рівняння динаміки записують в стандартній формі, а саме: записують в лівій частині члени за порядком похідних вихідної величини, причому коефіцієнт члена вихідної величини вибирають рівним 1. У правій частині рівняння записують всі члени, які зумовлюють зовнішню дію на систему. З врахуванням цього рівняння динаміки (17) двигуна матиме вигляд:

    (3.18)

 

Загальне рівняння динаміки САК

 

Наступним елементом САК є тахогенератор. Тахогенератор це вимірювальний прилад, який у нашій системі вимірює швидкість обертання ротора двигуна. Напруга на виході тахогенератора Uзз  буде рівна

                                         (3.19)

Тут Ктг – коефіцієнт перетворення тахогенератора.

Рівняння (3.1), (3.2), (3.9), (3.18) та (3.19) утворюють систему рівня, які повністю описують роботу системи автоматичного керування швидкістю двигуна постійного струму з незалежним збудження, відповідно до схеми приведеної на рис.3.1.

.   (3.20)

Система рівнянь (3.20) повністю описує динаміку роботи САК швидкістю обертів двигуна постійного струму. Послідовно вилучивши з неї всі проміжні змінні, одержимо рівняння, яке зв’язує вхідну величину системи керування, а саме напругу на вході системи Uз(t) і вихідну величину системи – швидкість обертання ротора двигуна w(t). Вилучивши з рівняння (3.20) проміжні величини, отримаємо лінійне рівняння третього порядку. (Як відомо з математики, порядок рівняння визначається порядком найвищої похідної, яка входить в рівняння).

Завдання для самостійної роботи: Одержати диференційного рівняння для розімкнутої системи. (Звести систему до одного рівняння, не враховуючи перше рівняння в системі (3.2).

Підставимо значення Uд(t) з формули (3.17) в (3.9) з урахуванням (3.10):

 

.   (3.21)

 

Розкриємо дужки:

 

(3.22)

Впорядкуємо за порядком похідної:

 

(3.23)

Приведемо до нормального вигляду:

 

. (3.24)

 

Введемо позначення і одержимо:

 

     .             (3.25)

Це звичайне лінійне рівняння третього порядку з постійними коефіцієнтами.

Аналогічно розглянутому прикладу можна отримати рівняння будь-якої системи автоматичного керування. Система може бути механічною, електричною, гідравлічною, певні частини системи бути можуть електричні, а інші механічні, але ми завжди можемо отримати диференційне рівняння (чи систему рівнянь) аналогічне розглянутим, яке повністю описує динаміку системи.

Інженери-електромеханіки, які мають справу з електричним приводом, з різними електромеханічними системами, набувають навиків складання рівнянь динаміки для будь-якої системи. Аналіз роботи систем різної складності виконується на основі рівнянь динаміки системи. Ми розглянули приклад системи автоматичного керування і з’ясували, що їх аналіз також приводить до розв’язання диференційних рівняння. Для лінійних систем – це лінійні диференційні рівняння, як правило, рівняння з постійними коефіцієнтами. Подальший аналіз роботи САК є завданням, аналогічним із завданнями теорії електричного приводу, теоретичних основ електротехніки, механіки.

У подальшому ми розглянемо методи аналізу САК, а результати, одержані під час такого аналізу, можна використовувати в інших наукових дисциплінах під час розробки та аналізу роботи систем різної складності.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 159; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ