Практическое занятие №5«Выполнение тождественных преобразований в тригонометрических выражениях» 8 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 22Следующая ⇒

если a<0, D<0, то y<0 при

· Промежутки монотонности:

при a>0 функция возрастает при

функция убывает при

при a<0 функция возрастает при

функция убывает при

· Экстремумы:

при a>0

при a<0

Показательная функция где

Свойства функции.

· Область определения:R

· Область значений:

· Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной

· Нули: нет

· Промежутки знакопостоянства: y>0 при

· Промежутки монотонности:

при 0<a<1 функция убывает при

при a>1 функция возрастает при

· Экстремумы:нет

· График функции проходит через точку

· Асимптота: y=0

Логарифмическая функция где

Свойства функции.

· Область определения:

· Область значений: R

· Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной

· Нули: y=0 при x=1

· Промежутки знакопостоянства:

если 0<a<1 , то y>0 при при

если a>1, то y>0 при ,y<0 при

· Промежутки монотонности:

при 0<a<1 функция убывает при

при a<1 функция возрастает при

· Экстремумы:нет

· График функции проходит через точку

· Асимптота: x=0

Замечание. Логарифмическая и показательная функции с одним и тем же основанием a являются взаимно обратными функциями.

Простейшие преобразования графиков функций

Часто бывает, что график функции y=f(x) заведомо известен (например, если f(x) –одна из основных элементарных функций или если он был уже построен при решении одной из предыдущих задач), а требуется построить график функции, тесно связанной с данной.

В ряде случаев это может быть сделано довольно просто.

Правило 1. Для того чтобы построить график функции y=f(x)+а, надо кривую y=f(x) сдвинуть вдоль оси ординат на а единиц (с учетом знака а) без деформации (как одно целое).

Правило 2. Для того чтобы построить график функции y=f(x+а), надо кривую y=f(x) сдвинуть вдоль оси абсцисс на а единиц (с учетом знака а) без деформации (как одно целое).

Правило 3. Для того чтобы построить график функции y=f(x+n)+m, надо кривую y=f(x) сдвинуть вдоль оси абсцисс на «-n» единиц, и вдоль оси ординат на m единиц (с учетом знаков m и n).

Правило 4. Для того чтобы построить график функции y=-f(x), надо построить изображение, симметричное графику функции y=f(x) относительно оси абсцисс.

Правило 5. Для того чтобы построить график функции y=f(-x), надо построить изображение, симметричное графику функции y=f(x) относительно оси ординат.

Правило 6. Для того чтобы построить график обратной функции, надо построить кривую, симметричную графику прямой функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Правило 7. Для того чтобы построить график функции y=Аf(x), надо ординаты всех точек графика функции y=f(x) увеличить по абсолютной величине в А раз, если А>1, и уменьшить в раз, если 0<А<1.

Правило 8. Для того чтобы построить график функции y=f(kx) (k>0), надо абсциссы всех точек графика функции y=f(x) уменьшить по абсолютной величине в k раз, если k>1, и увеличить в раз, если 0<k<1.

Правило 9. Для того чтобы построить график функции , надо оставить без изменения те участки графика y=f(x), где , и построить изображения, симметричные графику функции y=f(x) относительно оси абсцисс на тех участках, где f(x)<0(вместо графика функции y=f(x) на этих участках).

Правило 10. Для того чтобы построить график функции надо: во-первых, построить график функции y=f(x) при , оставить без изменения те участки графика y=f(x), где , во-вторых, при x<0 достроить график симметрично полученному графику относительно оси ординат.

Построение графика квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции

С помощью выделения полного квадрата любую квадратичную функцию можно представить в виде:

где

Это позволяет построить график квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции .

Этапы построения графика функции

1. Растяжение графика вдоль оси Oy в раз (при это сжатие в раз). Если a<0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси Ox (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции

2. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ox на (вправо при m>0 и влево при m<0).

Результат: график функции .

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Oy на (вверх при n>0 и вниз при n<0).

Результат: график функции .

Пример выполнения задания

С помощью простейших преобразований графиков элементарных функций постройте графики функций .

С помощью построенного графика найдите:

1. область определения функции;

2. множество значений функции;

3. точки пересечения графика с осями Ox и Oy;

4. промежутки знакопостоянства ( промежутки, на которых значения функции отрицательны, положительны);

5. промежутки монотонности (промежутки, на которых функция возрастает, убывает);

6. наименьшее или наибольшее значение функции.

Пример №1.

Этапы построения графика функции

1. Растяжение графика функции вдоль оси Oy в 2 раза.

2. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ox на 3 вправо.

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Oy на 1 вверх.

Результат: график функции

Свойства функции:

1. область определения функции: ;

2. множество значений функции: ;

3. точки пересечения графика с осями Ox и Oy: ;

4. промежутки знакопостоянства : функция всюду положительна;

5. промежутки монотонности: функция возрастает при и убывает при ;

6. наименьшее значение функции:

Пример №2.

Этапы построения графика функции

1. Сжатие графика функции вдоль оси Oy в 2 раза и преобразование симметрии относительно осиOx.

2. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ox на 2 влево.

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Oy на 1 вниз.

Результат: график функции

Свойства функции:

1. область определения функции: ;

2. множество значений функции: ;

3. точки пересечения графика с осями Ox и Oy: ;

4. промежутки знакопостоянства : функция всюду отрицательна;

5. промежутки монотонности: функция возрастает при и убывает при ;

6. наибольшее значение функции:

Пример №3.

Этапы построения графика функции

1. Преобразование симметрии относительно осиOy, при этом часть графика функции , лежащая левее оси Oy, удаляется.

2. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ox на 1 влево.

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Oy на 2 вниз.

Результат: график функции

Свойства функции:

1. область определения функции: ;

2. множество значений функции: ;

3. точки пересечения графика с осями Ox и Oy: ;

4. промежутки знакопостоянства : y>0 при и при ; y<0 при ;

5. промежутки монотонности: функция возрастает при и убывает при ;

6. наименьшее значение функции:

Пример №4.

Этапы построения графика функции

1. Преобразование симметрии относительно осиOy(влево).

2. Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ox на 1 вправо.

3. Преобразование симметрии относительно осиOx:при этом часть графика функции , лежащая выше оси Ox, сохраняется; а часть графика функции , лежащая ниже этой оси, отображается симметрично вверх.