Онтология и музыка пифагорейцев 24 страница
При изучении Византии XI века нужно иметь ввиду оба полюса ее жизни – смелую мистику монахов-духовидцев и ярко драматиче скую политику многих недостойных патриархов и василевсов, среди которых так выделяется непутевый, но и добрый самодур Константин IX Мономах.
Примечание: В 1046 году шестнадцатилетний сын Ярослава Муд рого Всеволод Ярославович (позднее тоже великий князь Киевский) женился на дочери императора Константина Мономаха от первого брака Ирине, умершей в 1067 году. Старший их сын Владимир Все володович, известный своим "Поучением", тоже именовался Моно махом. Какие-то капли крови византийского Мономаха до сих пор текут в жилах многих русских князей Рюриковичей, да и дворян, которые с ними породнились. Это, например, Лев Толстой и, вероят но, многие наши писатели из столбового дворянства: Пушкин, Лер монтов, Тургенев, Бунин или Набоков.
АНРИ ВОЛОХОНСКИЙ
Двенадцать ступеней натурального строя
Темперированный строй
В современных музыкальных инструментах с фиксированным строем используется только одно натуральное отношение – октава. Частоты или длины волн звуков, составляющих октаву, относятся как целые числа 1:2. Это можно продемонстрировать, если взять струну опреде ленной длины и разделить ее пополам. Звук, издаваемый половиной струны, будет на октаву выше звука целой струны. Все прочие музы кальные отношения – квинты, терции, тона, полутона наших роя лей и органов не являются отношениями целых натуральных чисел. Каждая из восьми октав, обнимающих в своей совокупности диапа зон частот, используемых в музыке, разделена на двенадцать лога рифмически равных интервалов – полутонов. Это означает, что логарифмы длин во всем прочем одинаковых струн, издающих тона, соответствующие любым двум соседним ступеням внутри октавы, отличаются друг от друга на постоянную величину. Если взять стру ну длиной L, точки, соответствующие n-ой ступени вниз от основного тона, можно найти по формуле (1):
|
|
|
(1)
тогда
log1n - logln-1 = 1/12 log2 = const
при n=0 10=L
при n=12 112=2L
То есть двенадцатая ступень соответствует струне удвоенной дли ны, октаве вниз от основного тона. Все промежуточные ступени вы ражаются иррациональными, а не натуральными числами. Такой темперированный строй является сейчас общепринятым. Он счита ется удобным для исполнения произведений, созданных исходя из совершенно других принципов, а именно – из принципов натураль ного лада, где отношения ступеней выражаются натуральными чис лами. Другие способы темперации оказались по разным причинам неприемлемыми.
Однако существует скептический взгляд, обращенный к двум ос новным моментам, – к музыкальной практике, использующей этот строй, и к культуре самого строя. Несмотря на формальное равнопра вие двенадцати ступеней, в практике композиции некоторые тона играют более важную роль, чем другие, это выражается, в частности, в разделении клавиш одной октавы на группы белых и черных. Уви дев в этом нелогичное ограничение свободы композитора традициями лада, Шенберг предложил уравнять в правах все двенадцать тонов октавы и подал тому пример собственным творчеством. Однако, ос тавалось неясным, почему же сохраняется натуральное, "ладовое" по природе, отношение октавы 1:2 и почему каждая из восьми октав разделяется на двенадцать, а не на какое-нибудь иное количество ступеней. Ведь формулу (1) можно записать в более общем виде:
|
|
|
где А – любое действительное число
N – целое число
Современному интеллекту выбор N = 12 представляется осно ванным на столь же неоправданно мистических или косно тра диционных соображениях, как и разделение года на 12 месяцев, небесной сферы на 12 секторов, соответствующих 12-ти знакам Зодиака, счета дюжинами и т.п. Однако разумные основания для выбора каких-либо иных значений А и N, по-видимому, отсут ствуют, и критика успокоилась на том, чтобы принять сущест вующие значения А=2 и N==12 как основанную на привычном удобстве конвенцию. С другой стороны, додекафония Шенберга, хотя и получившая известное развитие в XX веке, не заменила традиционной музыки. Причина этому – на наш взгляд – в нарушении додекафонистами некоторых онтологических прин ципов музыкального строя, не компенсируемых ни формальной логикой теоретиков, ни мастерством и талантом композиторов. Ибо логика додекафонистов основывалась на предположении о самоочевидной необходимости темперированного строя и не принимала во внимание того обстоятельства, что самая темпе рация была лишь вынужденным компромиссом между онтологи ческой структурой музыкального строя и техническими средст вами исполнения музыки.
|
|
|
Автор видит свою задачу в том, чтобы объяснить необходи мость выбора числа N=12 для ступеней октавы, тем самым обна ружив следы онтологических принципов в темперированном строе, и предложить двенадцатитоновый натуральный строй.
Первые натуральные отношения
Ради простоты и наглядности все рассуждения проводятся на следу ющей физической модели. На достаточно длинной натянутой струне фиксируются две точки. Расстояние между ними соответствует длине звуковой волны, производимой этим "единичным" отрезком струны. Удвоение длины отрезка соответствует получению тона октавой ни же, то есть вдвое меньшей частоты. Впредь мы не будем упоминать ни о длинах волн, ни о частотах, а только о натуральных числах, определяющих количество единичных отрезков струны в отрезках, соответствующих тому или иному тону. Если ниже мы будем гово рить о тоне 3 или о тоне 720, это будет означать, что речь идет о собственном тоне струны длиной в 3 или 720 раз большей "единично го" отрезка.
|
|
|
Простейшим натуральным отношением, очевидно, является 1:1, повторение двух одинаковых тонов, называемое примой. Отношение 1:2, как уже говорилось, называется октавой. Отношение 2:3 – на туральной квинтой. Если взять октаву вниз от верхнего тона квинты, то между этим новым звуком и нижним звуком квинты получится отношение 3:4, называемое натуральной квартой. Операция получе ния кварты из квинты, а также обратная и другие аналогичные опе рации называются обращением. Так, октаву можно получить обра щением примы. Несколько расширяя общепринятое значение терми на, можно называть обращением любое умножение или деление ка кого-либо тона на 2k , где k – целое число.
Следующее отношение 4:5 называется натуральной большой тер цией, а 5:6 – малой терцией. Обращением малой терции можно получить большую сексту 3:5. Ряд тонов 1,2,3,4,5,6 обладает тем свойством, что все его члены связаны между собой отношениями октавы, квинты, малой и большой терции или обращенными отноше ниями.
Идеальные тона и отношения
Ниже мы будем пользоваться вводимым из формальных соображений понятием "идеальный тон", неизвестным музыкальной теории. Од нако, фактически, говоря о ступенях до, ре, ми, фа и т.д. любой октавы, применяют именно это понятие. Наш термин просто придает количественный смысл обычным обозначениям положения тона в октаве. Например, если имеется тон 24, то, обратив его три раза, приходим к идеальному тону 3, которому могут соответствовать ре альные тона 3,6,12,24,48,... Ряд 5,10,20,40,... имеет в своей основе идеальный тон 5, ряд 1,2,4,8,... – идеальный тон 1. Иными словами, идеальным тонам соответствуют нечетные числа, а реальный тон Li
в какой-либо октаве выражается через идеальный тон Li формулой:
Li = Li 2k; гдеk= 1, 2, 3...
Простыми идеальными тонами мы будем называть простые нечет ные числа, а прочие нечетные числа – произвольными идеальными тонами; отношения идеальных тонов – идеальными отношениями. Квинте и кварте, терции и сексте – вообще любой паре отношений, связанных операцией обращения, соответствует одно и то же идеаль ное отношение. В ряду 1,2,3,4,5,6 наличествуют три идеальных тона 1,3 и 5 или – что то же – три простых идеальных отношения 1:3 – идеальная квинта, 1:5 – идеальная большая терция и 3:5 – идеаль ная малая терция, а также принцип "обращения", удвоения, т.е. октава 1:2. Реальная квинта, большая и малая терции составляют аккорд-трезвучие – 4:5:6. Обращенное трезвучие может выглядеть как 3:4:5, соответствующее простое идеальное трезвучие – 1:3:5. Никаких других отношений более мы не будем вводить в систему произвольно. Это означает, что новые идеальные тона обязательно будут состоять с одним из тонов 1,3,5 или с введенными ранее произ водными тонами в отношениях квинты, большой или малой терции.
4. Структура октавы
Октава (1 – 2) не содержит целых ступеней, октава (2 – 4) содержит тон 3 и отношения кварты и квинты, октава (3 – 6) – тона 4, 5 и отношения квинты, кварты, двух терций и большой сексты. Этого, очевидно, недостаточно для музыки. Нужно ввести дополнительные ступени, однако не за счет новых простых идеальных тонов, напри мер, 7,11,13 и т.д., чтобы не вводить неизвестных практике отноше ний и новых принципов. Можно вводить только производные идеаль ные тона по общей формуле:
Li=3m5n где m и n = 0, 1, 2
Однако выбор тип должен быть обоснован. Обычно таким обос нованием является простота.
Рассмотрим идеальное трезвучие, состоящее из квинты 1:3, боль шой терции 1:5 и малой терции 3:5. Его можно составить двумя способами. Первый из них – взять три простых идеальных тона 1:3:5. Здесь тон 1 играет одну и ту же роль в отношениях 1:3 и 1:5, тон 3 – в отношениях 1:3 и 3:5. Второй способ состоит в подборе к тонам 3 и 5 такого третьего тона, с которым эти тона составляли бы отношения 1:5 и 1:3 соответственно. Это будет тон 15, входящий в квинту с тоном 5 (5:15=1:3) и в большую терцию с тоном 3 (3:15=1:5). Таким образом, три простых идеальных отношения, кроме трезвучия 1:3:5, образуют трезвучие 3:5:15, в котором каждый тон играет двоякую роль в отно шениях. Первое трезвучие воспринимается как мажорное, второе – как минорное.
Новый идеальный тон 15 мы ввели, не привлекая нового идеаль ного отношения, однако оно устанавливается между тоном 1 из ми норного трезвучия и тоном 15 из мажорного. Тон 15 находится внутри октавы (8 – 16). Заметим здесь, что если исключить не относящийся к разрабатываемой системе тон 7, в октаве (4 – 8) содержатся лишь те же отношения, что и в октаве (3 – 6). В октава же (8 – 16), кроме простых идеальных тонов 1,3,5 и производного 15, содержится также производный и идеальный тон 9, который естественно теперь также включить в систему. Таким образом, в этой четвертой по порядку, если идти вниз от тона 1, октаве содержится всего пять идеальных тонов 1,3,5,9,15, которые состоят в следующих идеальных отноше ниях: 1:3; 3:5; 1:5 (простые отношения) и 1:9, 5:9,1:15 (производные отношения). В реальной форме последние выглядят как 8:9 (большой тон), 9:10 (малый тон) и 15:16 (большой полутон).
Эти пять идеальных тонов определяют одно мажорное и два ми норных трезвучия (1:3:5= 3:9:15), причем, последние смещены одно относительно другого на квинту. Роль квинт и терций – или, что то же, тонов 3 и 5 в музыке различна – квинты более существенны, что отражается возможностью из данных пяти тонов трех квинт 1:3, 3:9 и 5:15 и лишь двух больших (1:5 и 9:15) и двух малых (3:5 и 9:15) терций.
Октава (8 – 16) имеет следующую структуру: 8,9,10,12,15,16 или, в идеальной форме: 1,9,5,3,15,1, чему соответствует следующий порядок интервалов: большой тон, малый тон, малая терция, боль шая терция, большой полутон. Такое деление октавы, опять-таки, не удовлетворяет требованиям современной музыки, так как интервалы в терцию очень велики. Для дальнейшего расчленения октавы на постулированных выше принципах можно построить еще по пять тонов от каждого из имеющихся пяти идеальных тонов, всякий раз принимая первый тон за единицу, а остальные сохраняя в тех же отношениях, то есть транспонировать пятизвучие на квинту, боль шую терцию, большой тон и большой полутон. Это выглядит как простая операция умножения:
1 х (1,3,5,9,15) = 1,3,5,9,15
3х (1,3,5,9,15) = 3,9,15,27,45
5 х (1,3,5,9,15) = 5,15,25,45,75
9 х (1,3,5,9,15) = 9,27,45,81,135
15 х (1,3,5,9,15) = 15,45,75,135,225
Получается двенадцать идеальных тонов 1,3,5,9,15,25,27,45,75, 81,135,225. Величина последнего тона 225 указывает, что эти тона могут в своей совокупности реализоваться в октаве (128 – 256), восьмой по счету вниз от 1. Структура этой октавы такова:
128,135,144,150,160,162,180,192,200,216,225,240,256
или в идеальной форме:
1,135,9,75,5,81,45,3,25,27,225,15,1.
Из двенадцати интервалов между соседними ступенями этой ок тавы только один (45:81 = 5:9, в реальной форме – 9:10) превышает полутон. Тона распределены равномерно, их количество в точности совпадает с числом ступеней в инструментах с фиксированным стро ем, поэтому система, в принципе, может оказаться пригодной для музыки.
Наша система и традиция
Полученный строй нужно сопоставить с традиционными натураль ными строями. Последние, при разнообразии, начиная с Возрожде ния, имеют общими семь тонов: "с", "d", "е", "Г, "g", "a", "h", длины волн которых составляют пропорцию:
1: 8/9:4/5:3/4:2/3:3/5:8/15
Кроме того, в некоторых системах вместо "h" применяется тон "Ь", составляющий с тоном "с" отношение5. Прочие четыре ступени, промежуточные "с" и "d", "d" и "е", "Г и "g", "g" и "а", варьиро вали в разных системах ввиду отсутствия очевидных критериев для их оптимального выбора.
Чтобы сопоставить ступени нашего строя с традиционными, нуж но теперь разумным образом подобрать тон октавы. Это должен быть тон, состоящий в простых отношениях с возможно большим числом прочих тонов. Ввиду того, что мы имеем дело с пятью тонами 1,3,5,9,15, транспонированными на известные интервалы, естест веннее всего принять за исходный тон.("с") нашей октавы наимень шее общее кратное этих пяти чисел – идеальный тон 45. Тогда ступени октавы в реальной форме расположатся в пределах 180 – 360. Представив эти числа в виде пропорции:
360:324:320:300:288:270:256:240:225:216:200:192:180
и разделив их на 360, получаем:
| 1: | 9/10: | 8/9: | 5/6: | 4/5: | 3/4: | 32/45: | 2/3: | 5/8: | 3/5: | 5/9: | 8/15: | 1/2 |
| c | i | d | j | e | f | k | g | l | a | b | h | c |
В последней пропорции восемь членов совпадают с традиционны ми. Новым в нашей системе является определение оптимальных зна чений для остальных четырех ступеней: 9/10; 5/6; 32/45; 5/8 или, в другой форме, 324, 300, 256, 225. Обозначим их "i", "j", "к" и "l", сохранив за прочими традиционные обозначения.
Теперь нужно выразить тона темперированного строя в такой форме, которая позволяла бы сравнивать их с натуральными. Это нетрудно сделать, зная, что десятичный логарифм струны длиной 2 равен 0.3010, а струны 1 – нулю и что логарифмы длин струн соот ветствующих ступеней октавы отличаются на одну и ту же величину 0.3010/12 = 0.0251. Вычислив антилогарифмы, умножив каждый член ряда на 360/2 = 180 и округлив числа до целых трехзначных, получим относительные длины струн для темперированного строя, сопоставимые с тонами нашей октавы (таблица 1).
Таблица 1.
| c | i | d | j | e | f | k | g | l | a | b | h | |
| Темперированный строй | 360 | 324 | 320 | 300 | 288 | 270 | 256 | 240 | 225 | 216 | 200 | 192 |
| Натуральный строй | 360 | 340 | 321 | 303 | 286 | 270 | 254 | 241 | 226 | 214 | 202 | 191 |
Сравнение показывает, что ступени темперированного строя (за исключением "i") близки к ступеням натурального. Что касается ступени "i", то ее положение в интервале 80:81 от "d" (а не в полуто не, как это имеет место в темперированном строе) дает нашему строю существенное преимущество, благодаря которому от ступеней "с" и "f" можно построить по шесть ступеней квинтовыми ходами при энгармонической замене "i" на "d", что вполне удовлетворяет при вычным требованиям композиции на ладовой основе. Только одна квинта (а не все шесть) при этом незначительно искажается.
Из отмеченного сходства натурального и темперированного строя вытекает, что современный строй не является результатом конвен ции или случайностей исторического развития музыки. Скорее всего, он таков, потому что не может быть существенно другим, ибо он основан на приближении к оптимальному набору наиболее простых резонансных отношений, с одной стороны, и на особенностях воспри ятия человеком этих отношений – с другой. Мы рискнем здесь вы сказать предположение, что фактически и в темперированном строе человек старается услышать натуральный. Известно, что в роялях, которые давно не настраивались, начинают звучать натуральные отношения. Если именно их чувствует примитивный инструмент, то тем более это относится к уху. Следовательно, несмотря на формаль ную равноценность двенадцати ступеней октавы, обеспечиваемую темперацией, они продолжают оставаться неравноценными по суще ству, что делает просто невозможным исключение ладового принци па из композиции. Любая комбинация ступеней – независимо от композитора – будет иметь определенное отношение к какому-либо ладу.
Стремление освободиться от онтологического принципа свойст венно не только музыке последнего столетия. Его можно сопоставить с попытками исключить предметное изображение из живописи или ввести принципы относительности в физику и этику. Такие сходные тенденции в далеких областях являются свидетельством общего со стояния человеческого духа, для которого в последнее время стало особенно характерно стремление к свободе, понимаемой как избав ление личности от связей с онтологическими категориями.
В том, что касается музыки, процесс шел, примерно, по следую щим этапам. В средние века господствовали принципы простых ла дов, известных со времен античности. Инструменты также были про сты. В начале Возрождения, с развитием многоголосья, произошло усложнение представлений о гармонии и, параллельно, – усложне ние инструментов. Уже тогда онтологический принцип начал сме щаться в сторону техники. Развитие этой тенденции привело к поста новке вопроса о "темперации", то есть о таком делении октавы, которое гарантировало бы музыканту возможность гармонизировать голоса сколь угодно большого количества инструментов. Введение логарифмической темперации вполне соответствовало духу рацио нализма XVIII-XIX веков, а реформа Шенберга и опыты стохастиче ской композиции – крайнему субъективизму нашего времени.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 124; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!