Теорема об изменении количества движения системы

Понятие импульса силы позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системыдля произвольных систем:

где — начальный, а — конечныйимпульсизолированной системы, взаимодействующей с другими системами лишь посредством сил. Фактически, в этой формулировке закон сохранения импульса эквивалентенвторому закону Ньютонаи является его интегралом по времени, так как

 

Теоремы об изменении количества движения механической системы и о движении центра масс. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

(8)

Дифференцируя (8) по времени и учитывая основной закон (А2) и первое свойство внутренних сил, получим:

                                                                                                                                  (12) – Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.

(12’) В проекциях на координатные оси.

Теорема: производная по времени от вектора количества движения равна главному вектору внешних сил.

Теорема о движении центра масс.

 (9)

Подставляя (9) в (12) получим

 (13)- Теорема о движении центра масс.

Т.е. центр масс движется как материальная точка, если в ней сосредоточить массу всей системы и приложить силу, равную главному вектору всех внешних сил. Именно это служит обоснованием метода динамики точки. (Теорема о движении центра масс).

 (14) – В проекциях на координатные оси.

 

 

Если траектория центра масс криволинейна и известна, то используются естественные оси:

 

(15)

Уравнения 14 называются также дифференциальным уравнениями поступательного движения вместе с центром масс.

Кинетический момент (главный момент количества движения) механической системы относительно центра и оси.

 

 

 

Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела.

Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (3.10):

dK_z/dt = M_z^e. (3.11)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F₁, F₂, F₃,…, F_n), определяющих угловую скоростьωи угловое ускорениеε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуютсилы реакции R_A подпятника и R_Bрадиального подшипника.

Определяем правую часть уравнения (3.11):

M_z^e=∑M_z(F_j^e)+M_z(R_A)+M_z(R_B).

Поскольку

M_z(R_A) = M_z(R_B)=0,

то

M_вращ = M_z^e= ∑M_z(F_j^e).

Рисунок 3.4

Найдем момент количества движения (кинетический момент) K_z вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку M_jтела на расстоянии r_j от оси вращения и имеющую скорость V_j=ω∙r_j. Очевидно, что

K_zj=m_j ∙V_j ∙ r_j=m_j ∙ ω ∙ r_j²

Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

K_z = ∑K_zj = ∑m_j ∙ ω ∙ r_j²,

где ∑m_j ∙ r_j²= J_z.

Следовательно, окончательно будем иметь

K_z = J_z ∙ ω. (3.12)

Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем

J_z ∙ dω/dt = M_вращ,

или

J_z ∙ d²φ/dt² = M_вращ. (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собойдифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

ε = M_вращ/J_z. (3.14)

Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции J_z тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.

 

---

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 303; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!