Выполнение семестрового задания (с. 57)

Примеры решения задач

Пример 1. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а=6,5 и σ =2. Вычислить вероятность того, что: значение случайной величины попадет в интервал [3, 7]; б) отклонение значения от среднего не превысит 4.

Решение. а) Согласно формуле

(значения функции Лапласа определяем по таблице из приложения 2)

б) на основании формулы

Пример 2. Измерительный прибор (высотомер) имеет систематическую ошибку +20 м и случайные ошибки Х, распределённые по нормальному закону с параметрами M (X) = 0;

σ = 10м. Определить: а) вероятность измерения высоты с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 50 м; б) какую точность измерения высоты можно гарантировать с вероятностью 0,98?

Решение. Пусть У – суммарная ошибка измерения высоты. Тогда У = 20+Х и М (У) = 20; D (У) = D (Х) = 100.

Таким образом,

Находим

а)

б)

 

Задания для самостоятельного решения

1. Контролируемая характеристика прибора является нормально распределенной случайной величиной X со средним значением 15,5 и средним квадратным отклонением 0,2. Вычислить вероятность попадания значения этой величины в интервал [15,1; 15,8] и вероятность того, что отклонение характеристики от своего среднего не превысит 0,3.

2. Измерения расстояния до объекта сопровождаются систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна - 50м. Случайные ошибки X подчинены нормальному закону распределения, причем M(x)=0; σ =100 м. Определить: а) вероятность измерения расстояния с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 150м; б) какую точность измерения можно гарантировать с вероятностью 0,96?

3. Случайная величина X имеет нормальное распределение с пара – метрами M(x)=0. Вероятность попадания этой величины на [-а, а] равна 0,5. Найти σ и записать выражение для плотности вероятности.

4. Ошибка измерения подчинена нормальному закону, для которого, а=6 м; σ =10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более чем на 15 м.

Подготовиться к обязательной контрольной работе

Задания к обязательной контрольной работе

1. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Первый даёт 25%, второй – 30% и третий – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.

2. Имеются две урны с шарами. В первой урне 34 белых и 6 черных, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3. Пусть в условии предыдущей задачи из второй урны извлечен белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

4. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бракована, равна 0,01%, а второго – 0,02. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора качественная.

5. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5 к одному из трёх типов, для которых вероятность срабатывания при нарушении нормальной работы равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.

6. Пусть в условиях предыдущей задачи от индикатора получим сигнал. Найти вероятность того, что индикатор принадлежит к первому типу.

7. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй 5 белых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

8. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, а на втором – 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет высшего качества.

9. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

10. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трёх станков с вероятностями соответственно равными Р1=0,2; Р2=0,3; Р3=0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,3, на третьем - 0,05. Найти вероятность того, что поступившие в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.

11. Пусть в условиях предыдущей задачи, поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке? 

12. В ящике имеются 5 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад оказалось не бракованной. Найти вероятность того, что 3 детали в ящике не бракованные, а 2 бракованные, если предположить, что до опыта все гипотезы равновозможные. 

13. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями р₁=0,6 и р₂=0,4. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

14. Пусть в условиях предыдущей задачи лампа проработает заданное число часов. Какова вероятность того, что она принадлежит к первой партии?

15. В ящике имеются 4 детали, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад деталь оказалась не бракованной. Определить вероятность того, что все детали в ящике не бракованные. (Предполагается, что до опыта все гипотезы равновозможны).

16. В первой коробке 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 деталей, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, стандартна.

17. Пусть в условиях предыдущей задачи деталь, извлеченная из первой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что из второй коробки переложена в первую стандартная деталь.

18. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Найти вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной.

19. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора нестандартна.

20. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она принадлежала первому набору?

21. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 20%, второй 30% и третий 50% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,2% брака деталей, второй – 0,3%, третий – 0,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна.

22. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго – 0,9 и третьего – 0,85. Все произведенные в цехе за смену детали в не рассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго – 3 штуки, третьего – 2 штуки и производительность всех одинакова.

23. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она была произведена на станке первого типа.

24. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

25. В ящик, содержащий две детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

26. Пусть в условиях предыдущей задачи извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что первоначально в ящике была одна стандартная и одна нестандартная деталь.

27. Детали для сборки изготавливаются на двух станках, из которых первый производит деталей в 4 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,2, а в выпуске второго – 0,01. Взятая наугад деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

28. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, для велосипедистов – 0,8 и для бегуна – 0,6. найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.

29. Пусть в условиях предыдущей задачи спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это был велосипедист.

30. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой 3 белых и 2 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и перекладывают во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

31. Для участия в студенческих отборных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй 6, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей групп попадут в сборную института, соответственно равна 0,9; 0,7; и 0,6. Найти вероятность того, что студент, выбранный на удачу, в итоге соревнований попадет в сборную.

32. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. Найти вероятность того, что это был студент первой группы.

33. В первом ящике содержатся 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них также одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

34. Возле бензоколонки, стоящей на шоссе, проезжает в среднем 80% грузовых и 20% легковых автомашин. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,05, для легковой эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

35. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа разных типов. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равна 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

36. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что это был кинескоп 1-го типа.

37. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины задано функцией распределения

Требуется: а) найти значение с; б) плотность распределения вероятностей f(x);

в) построить график функций F(x) и f(x); г) вычислить М(х); D(x); s (x); д) Р .

Данные приведены в таблице

 

№ варианта	a	b			№ варианта	a	b
1	3	5,5	1	5	14	2	5	1	3
2	1	6	0,2	5	15	1	3	0	2,5
3	2,5	5	1	3	16	3	5	1	3,5
4	3	7	2	6	17	1	4	0,5	2
5	4	6	1	5	18	2	7	1,5	5
6	2	7	0	4	19	0	6	-1,5	3
7	4	8	2	5	20	5	7	3	6
8	6,5	9	5	8	21	5	9	2	7
9	2	4	1	3	22	0	4	-3	2
10	5	9	2	5	23	3	8	1	5
11	0	2	-1	2	24	2	5	0	3
12	2	7	0	3	25	1	4	0	2
13	1	5	-2	4	26	0	3	-1	2

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 313; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!