Задания для самостоятельного решения
1. Пусть А, В, С,- Три произвольных события. Найти выражения для событий, которые состоят в следующем:
1) произошло только одно событие А;
2) произошло одно и только одно событие;
3) произошло два и только два события;
4) все три события произошли;
5) произошло, по крайней мере, одно событие;
6) произошло не более двух событий.
2. Пусть события А1 и А2 означают попадание в мишень соответственно при первом и втором выстрелах; тогда события Ā1 и Ā2-промахи при соответствующих выстрелах. Выразить через - А1, А2, Ā1, Ā2 следующие события;
а) В - ровно одно попадание в мишень при двух выстрелах;
б) С - два попадания в мишень при двух выстрелах;
в) D - хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
г) Е - ни одного попадания в мишень.
3. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
4. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за 3 смены?
5. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?
6. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются на удачу 2 пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
|
|
|
1. Проработать текст лекции, ответить на вопросы для самопроверки
(с. 16 вопросы 35 – 38)
Тема лекции 1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей
2. Рассмотреть примеры решения задач
3. Решить задачи для самостоятельной работы и подготовиться к практической работе № 4 по теме «Использование формул полной вероятности и формулы Бейеса для нахождения вероятностей событий»
Примеры решения задач
Пример 1. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый шар, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 5 черных шаров, в четвертой – 4 белых и 7 черных шаров. Событие Ні – выбор і – й урны (і = 1, 2, 3, 4).
Решение. 
Вероятность выбора первой, второй, третьей или четвертой урны одинаковы. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Решение
Так как 
и (условная вероятность извлечения белого шара из первой урны); аналогично
Вероятность извлечения белого шара находим по формуле полной вероятности:
Пример 2. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
|
|
|
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы: 
: ни первый, ни второй стрелок не попадут, 
: оба стрелка попадут; 
: первый стрелок попадет, а второй не попадет;
: первый стрелок не попадет, а второй попадет.
Пусть А – событие, состоящие в том, что будет одна пробоина. Условные вероятности наблюдавшегося события А при этих гипотезах:
После опыта вероятность гипотезы такова:
Пример 3. Детали выпускаются двумя цехами. Первый цех даёт ¾ всей продукции, вероятность брака 0,01. Второй цех даёт ¼ всей продукции, вероятность брака 0,03. Наугад взято одно изделие. Определить вероятность того, что оно браковано (событие А).
Решение. Можно сделать два предположения: Н1 – изделие изготовлено в первом цехе, Н2 – изделие изготовлено во втором цехе.
Пример 4. В наборе внешне одинаковые резисторы трёх типов: 50 – первого типа, среди которых 4% брака; 100 – второго типа, среди которых 3% брака; 150 – третьего типа, среди которых 2% брака. Определить:
а)вероятность того, что наудачу взятый для сборки резистор окажется бракованный (событие А).
Решение. Обозначим через Н1, Н2, Н3 события: взят резистор первого, второго, третьего типов. Всего резисторов 300, значит,
|
|
|
Следовательно, искомая вероятность
Пример 5. По условию предыдущей задачи взятый резистор оказался бракованным. Определить вероятность того, что резистор первого типа 
Решение. По формуле Байеса
Пример 6. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди переданных сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».
Решение. Пусть события: А - принят сигнал «точка», В - принят сигнал «тире». По условию Р (Н1) - передан сигнал «точка», Н2 - передан сигнал «тире». По условию Р (Н1): Р (Н2)=5:3. Кроме того, Р (Н1)+ Р(Н2)=1, поэтому 
Известно, что
Вероятность событий А и В найдем по формуле полной вероятности
Искомая вероятности:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 243; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!