Задания для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 17Следующая ⇒

Расчетная работа 1.

1. Сформулируйте основные теоремы о пределах:

1) ;

2) ;

3) .

Напишите равенство:

1) выражающее сущность первого замечательного предела;

2) определяющее трансцендентное число е.

3. Закончите определения:

1) Функция , имеющая своим пределом число 0, называется….

2) Функция ,имеющая своим пределом - или + ,называется…

4. Напишите «цепочку» эквивалентных бесконечно малых x ~ sinx ~…~…~…~…~…~.

5. Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности

… .

6. Вычислите пределы, требующие применения первого замечательного предела:

2) закончите обобщение:

4) закончите обобщение:

5) закончите обобщение;

6) закончите обобщение:

7. Вычислите пределы, требующие применения второго замечательного предела:

;

Вычислите пределы, используя теоремы и «цепочку» эквивалентных бесконечно малых:

2) =…;

3) =…;

9. Найдите производные функций:

1) y = 3 x ;

2) y = ;

3) y = 3 ;

4) y = lg x ;

5) y = 20 sin x - 7 cos x + 1 ;

6) y = tg x ctg x ;

7) y = .

10. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производные функций:

1) y = 2 ; = 2 ;

2) y = ln ( x ;

3) y = sin (3 x +2 ) ;

4) y = sin .

11. На рисунке дан график функции .

Заполните таблицу, указав знаки и в отмеченных точках:

X

12. Для функций найдите точки экстремума и интервалы монотонности. Заполните таблицы и сделайте схематические чертежи, следуя указанной схеме:

1) Найдите .

2) Определите критические (стационарные) точки.

3) Определите знаки в достаточно малых окрестностях найденных критических точек и точек разрыва функции .

4) Заполните таблицу:

x

y

5) Сделайте чертеж:

13. Допишите формулы:

Пусть y = kx + b – асимптота графика функции y = f ( x ). Тогда параметры k и b определяются по следующим формулам:

14. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функций:

15. Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба функций по схеме:

1) найдите

2) определите абсциссы точек, подозрительных на перегиб;

3) определите знаки в достаточно малых окрестностях найденных точек и точек

разрыва функции y = y ( x );

4) заполните таблицу:

x

y

16. Найдите асимптоты графиков функций:

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Неопределенный интеграл

Определенный интеграл

Задания для самостоятельной работы

Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции , если выполнено соотношение .

Если некоторая функция является первообразной для функции , то функция , где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции .

Вся совокупность первообразных для функции может быть записана в виде , где - некоторая конкретная первообразная, а С – произвольная постоянная величина.

Любая первообразная для данной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Принято писать = , где - некоторая конкретная первообразная, а С – произвольная постоянная величина. Таким образом, неопределенный интеграл определяется с точностью до произвольной постоянной.

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Следовательно, проблема интегрирования функции сводится к нахождению некоторой конкретной первообразной.

Отметим также, что можно очень просто проверить, правильно ли вычислен неопределенный интеграл. Для этого достаточно в выражении = вычислитьпроизводную от правой части и убедиться, что она равна подынтегральной функции .

Прежде чем перейти к свойствам неопределенного интеграла, приведем таблицу некоторых основных интегралов от элементарных функций, которые мы в дальнейшем будем называть табличными интегралами.

Табличные интегралы.

1. .