Вывод дифференциального уравнения взаимодействия.



 

       Роль граничных условий резко возрастает в связи с тем, что система и среда часто обладают различными свойствами. На контрольной поверхности, представляющей собой поверхность раздела (контакта) двух тел, могут наблюдаться изломы кривой распределения потенциала, или даже скачки потенциала (см. рис. 2). В подобных случаях, когда в изучаемых объектах имеется значительная неоднородность свойств, решение различных практических задач крайне усложняется, ибо приходится интегрировать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, являющимися функциями координат. На практике, чтобы избежать этой трудности, соответствующий объем мысленно расчленяют на отдельные практически однородные зоны и составляют уравнения для каждой из них. Связь между различными зонами осуществляется с помощью особого рода дифференциального уравнения обмена зарядом на поверхности контакта. Это уравнение по существу выражает закон сохранения заряда. Только теперь оно записывается не через заряд, а через поток заряда.

       Действительно, умножив левую и правую части основного уравнения (99) закона сохранения заряда на коэффициент D, с помощью равенства (225) получим

                                           Wс + W = 0.                                                                       (647)

       Это уравнение, как и основное соотношение (99), выражает тот факт, что поток данного заряда при прохождении через поверхность контакта не уничтожается и не возникает.

       В некоторых случаях, в частности при фазовых превращениях, поверхность контакта может представлять собой фронт фазового превращения (этот фронт отделяет, например, твердую фазу от жидкой). Тогда на этой поверхности могут иметься источники или стоки определенных зарядов (например, термического объема и т.д.). В этих условиях уравнение (647) закона сохранения заряда принимает вид

                                           Wс + W ± Wист = 0.                                                          (648)

       Здесь дополнительный поток Wист может быть положительным или отрицательным (источник или стоек заряда).

       Общее уравнение (648) применительно к конкретным частным потокам записывается по-разному в зависимости от свойств соприкасающихся систем. Возможны следующие характерные варианты:

                                           aсХс + a ± Jист = 0;                                                           (649)

                                           bсХс + b ± Iист = 0;                                                            (650)

                                           aХ + LY ± Jист = 0;                                                          (651)

                                           bХ + М Y ± Iист = 0;                                                          (652)

                                           LсYс + LY ± Jист = 0;                                                        (653)

                                           МсYс + МY ± Iист = 0.                                                      (654)

При отсутствии источников или стоков зарядов потоки Jист и Iист обращаются в нуль.

       Общее (648) и частные (649) – (654) уравнения несколько по-другому, чем основное равенство (99), выражают закон сохранения заряда. Эти уравнения можно назвать также дифференциальными уравнениями взаимодействия (обмена) на поверхностях контакта группы соприкасающихся тел.

       Уравнение (649) при Jист = 0 характеризует обмен зарядом на поверхности контакта двух несмешивающихся жидкостей или на поверхности контакта жидкости и газа. Слагаемое aсХс определяет отдачу заряда в одной среде, - в другой. Аналогичный смысл имеет уравнение (650) при Iист. Оно получается из уравнения (649) путем умножения последнего на площадь F.

       Уравнение (651) чаще всего характеризует обмен зарядом на поверхности твердого тела, соприкасающегося с жидкостью или газом. Слагаемое определяет отдачу заряда на поверхности контакта, а LY – подвод заряда к этой поверхности посредством проводимости. Уравнение (652) имеет такой же смысл (оно получается путем умножения уравнения (651) на F). В общем случае эти уравнения можно записать в четырех различных вариантах. Например, обе проводимости можно отнести только к системе или только к окружающей среде. Далее, первую проводимость можно отнести к системе, а вторую – к окружающей среде. Наконец, первую проводимость можно отнести к окружающей среде, а вторую – к системе. Один из этих вариантом был использован раньше при обсуждении закона Хаббла (§ 60).

       Уравнение (653) при Jист = 0 характеризует обмен зарядом на поверхности раздела двух твердых тел. Если проводимости Lс и L этих тел различаются между собой, то неодинаковые значения имеют также градиенты потенциала Yс и Y: на поверхности контакта наблюдается излом кривой распределения потенциала – рис. 2. Если Lс = L, то Yс = Y и излома на кривой потенциала не имеется – рис. 1. Уравнение (654) аналогично уравнению (653).

       Дифференциальные уравнения обмена очень облегчают теоретическое решение различных практических задач о взаимодействии тел природы.

 

Экспериментальный метод.

 

       Достоинством экспериментального метода является достоверность получаемых результатов. Недостаток этого метода состоит в ограниченной ценности его результатов: сведения, почерпнутые из любого данного опыта, принципиально говоря, не могут быть применены к другому явлению, которое в какой-либо мере отличается от данного.

       Иными словами, при экспериментальном подходе каждое конкретное (единичное) явление должно служить самостоятельным объектом опытного изучения. Этот недостаток особенно обременителен при создании новых процессов, машин и аппаратов: при таком подходе приходится вначале вслепую строить машину, а затем на опыте убеждаться в ее непригодности. Поэтому экспериментальный метод чаще всего применяется на начальной стадии изучения явлений.

 

Смешанный метод.

 

       На практике, как правило, пользуются смешанным методом, в котором теоретический подход сочетается с экспериментальным. Существуют два варианта смешанного подхода – теоретико-экспериментальный и экспериментально-теоретический. В основе первого лежит теория, в основе второго – эксперимент, причем теория дополняется определенными экспериментальными данными, а эксперимент – теоретическими.

       Наибольшее распространение получил теоретико-экспериментальный метод. При решении задач этим методом составляются дифференциальные уравнения, описывающие изучаемое явление. Эти уравнения интегрируются и полученные решения (уравнений) согласовываются с условиями однозначности. Необходимые для практики расчетов коэффициенты поставляет эксперимент.

       Простейшими уравнениями, с которыми приходится сталкиваться на практике, являются дифференциальные уравнения основных законов. В более сложных случаях получаются, например, совокупности (системы) дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных и т.д.

       При экспериментально-теоретическом решении задачи за основу берется эксперимент. Результаты данного конкретного опыта особым образом – с помощью сведений, содержащихся в теоретических уравнениях, - распространяются на другие явления. Такое распространение (обобщение) результатов единичного опыта на многие явления осуществляется в методах подобия, модели и аналогии. В этом вопросе неоценимую услугу оказывает так называемая теория подобия. Эта теория позволяет результаты конкретного опыта распространить на группу – бесконечное множество – подобных между собой явлений. Это достигается путем представления результатов единичного опыта не в виде зависимости между конкретными величинами, замеренными в опыте, а в виде зависимости между критериями подобия – безразмерными комбинациями измеренных величин. Критерии подобия находятся из дифференциальных уравнений и условий однозначности по определенным правилам. В результате данная экспериментальная зависимость оказывается справедливой для всех конкретных явлений, характеризуемых одинаковыми значениями критериев подобия, т.е. для всей группы подобных явлений.

       Группа явлений по объему уже класса и шире единичного явления. Она объединяет все явления, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Группа явлений выбирается с помощью основной теоремы теории подобия, сформулированной А.А. Гухманом и М.В. Кирпичевым в 1931 г. (теорема Гухмана-Кирпичева).

       Критерии подобия представляют собой безразмерные степенные комплексы. Чтобы их найти, необходимо исходное уравнение привести к безразмерному виду – разделить все слагаемые на одно из них, а затем в полученном уравнении отбросить все индексы, знаки сумм, символы, выражающие действия дифференцирования, и т.п. Составленные таким образом комплексы и есть искомые критерии подобия. Недостающие критерии находятся из условий задачи в виде отношения двух однородных величин – это так называемые параметрические критерии.

       Практические примеры составления критериев подобия были рассмотрены в § 30 применительно к микромиру.

       Разновидностью метода подобия является метод моделирования.

       Из предыдущего ясно, что в эксперименте не обязательно испытывать подлежащее изучению конкретное явление (образец). Достаточно испытать любое другое явление (модель), характеризуемое теми же значениями критериев подобия, что и образец. Такой метод замещения образца (подлежащего изучению конкретного явления) моделью (фактически изучаемым явлением) называется моделированием.

       К методу модели прибегают в тех случаях, когда, с одной стороны, невозможно найти теоретическое решение поставленной задачи из-за трудностей математического характера и, с другой, затруднительно поставить эксперимент с образцом в натуральную величину. Например, в инженерной практике моделируют крупные гидротехнические сооружения, самолеты, корабли и т.п.

       Если метод моделирования позволяет одно явление данного рода замещать другим явлением того же рода, то метод аналогии основывается на сходстве дифференциальных уравнений, описывающих разнородные явления (вспомним, что дифференциальные уравнения основных законов справедливы для любых форм движения). Поэтому с его помощью удается, например, задачи теплопроводности решать путем экспериментального  изучения процессов движения вязкой жидкости, газа или электрического заряда и т.п.

       При использовании метода аналогии параметры и функции состояния данного рода (заряд, потенциал, емкость, проводимость и т.д.), относящиеся к образцу, заменяются соответствующими параметрами и функциями состояния другого рода (зарядом, потенциалом, емкостью, проводимостью и т.д.), относящимися к фактически изучаемому явлению. О свойствах образца судят по значениям сходственных параметров и функций состояния для изучаемого явления на основе заранее установленного масштаба величин.

       Решение различных практических задач крайне облегчается и ускоряется благодаря применению электронных цифровых и аналоговых вычислительных машин. Эти машины умеют интегрировать дифференциальные уравнения, согласовывать решения с условиями однозначности, анализировать полученные результаты и выдавать их в виде чисел, готовых графиков и т.п. В настоящее время проводится большая работа по применению вычислительных машин для решения систем дифференциальных уравнений общей теории (Н.А. Буткевичус и др.). Машины окажутся очень полезными при расчете фазовых превращений и химических реакций, процессов распространения зарядов на нестационарном режиме, реакций элементарных частиц (ансамблей, микрозарядов) и т.д.

 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 32;