Кинетодинамика, или динамика.



 

       В кинетодинамике, или динамике, изучаются свойства нестационарных неравновесных систем. Для динамической системы критерий нестационарности (660) имеет значения

                                           0 £ К D W £ 1.                                                                     (671)

       Частными случаями динамической системы являются статическая (стационарная равновесная), кинетическая (стационарная неравновесная) и статодинамическая (нестационарная равновесная) системы. Поэтому динамика представляет собой наиболее сложный и, как следствие, наименее разработанный раздел общей теории.

       В динамике применяется весь математический аппарат основных законов. При этом с их помощью выводятся более сложные динамические уравнения переноса, которые отражают специфику поведения динамической системы. Соответствующие уравнения были выведены в § 38. Примеры применения этих уравнений рассмотрены в § 40 и 44-46.

 

 

Примеры взаимодействий.

 

Заряжание системы.

 

       Рассмотрим несколько случаев нестационарных взаимодействий тел, причем ограничимся примерами из области статодинамики. При изучении статодинамических систем математический аппарат оказывается предельно простым, однако это не исключает возможности решать крайне трудные практические задачи, возникающие, например, при химических и фазовых превращениях.

       Предположим, что система располагает одной степенью свободы (n = 1). Она разряжается в окружающей среде от начального (при t = 0) значения потенциала Р0 до Рс. За время dt количество заряда, потерянного с контрольной поверхности,

                                           dЕ = JFdt = a XFdt = - a d PFdt = a ( Р – Рс )Fdt.          (672)

       Этот заряд изменяет потенциал системы на величину , причем

                                           dЕ = К dР,                                                                         (673)

где К – емкость системы.

       Приравняв правые части этих выражений, получим

                                           U = J = a X,                                                                       (674)

где

                                           U = (К/F)(dР/dt).                                                              (675)

       Это есть статодинамическое дифференциальное уравнение переноса, в котором статодинамический поток U, численно равный обычному потоку J, характеризует скорость изменения потенциала со временем. Разделив переменные в уравнении (674), после интегрирования находим (при постоянных К и a):

                                           Х = Х0 exp(- a Fdt/К);                                                       (676)

                                           J = J 0 exp(- a Fdt/К),                                                        (677)

где

                                           Х0 = - d P0 = Р0 – Рс;                                                          (678)

                                           J0 = aХ 0.                                                                           (678)

       Сила и поток изменяются со временем по экспоненциальному (логарифмическому) закону.

       Термическая работа диссипации на границах системы (на участке изменения потенциала от Рп до Рс) определяется формулами (483) и (672)

                                           dQд = dP a dPFdt  дж.                                                 (679)

       После интегрирования с учетом формулы (676) имеем

                                           Qд = (1/2)КХ02 [1 – exp(- 2 a Ft/К)]           дж.             (680)

       В начальный момент (при t = 0) термическая работа диссипации Qд = 0. При полном разряжании системы (t ® ¥)

                                           Qд = (1/2)КХ02 = (1/2)Х00 = (1/2)А DЕ02 дж,         (681)

где 0 - заряд, покинувший систему

                                           0 = КХ0 = К(Р0 – Рс).                                                   (682)

       Если система располагает двумя степенями свободы (n = 2), то дифференциальные уравнения статодинамического переноса [типа (674)] записываются в виде:

                                           U1 = J1 = a 11 X1 + a 12 X2;                                                   (683)

                                           U2 = J2 = a 21 X1 + a 22 X2,                                                   (683)

где

                                           U1 = (К11/F)(dР1/dt);                                                         (684)

                                           U2 = (К22/F)(dР2/dt).                                                         (684)

       Зависимость величин Х и J от времени находится путем интегрирования этих уравнений.

 

Обмен между двумя системами.

 

       Если при n = 1 обмен происходит между двумя равновесными системами (их можно называть также подсистемами) А и В, то количество переданного заряда

                                           dЕ = JFdt = aXFdt = - a dPFdt = - a(РВ – РА)Fdt.                   (685)

       Изменения потенциалов систем А и В в общем случае различны:

                                           dЕ = - КАА;                                                       (686)

                                           dЕ = КВВ.                                                                      (686)

       Приравняв правые части выражений (685) и (686), получаем:

                                           UА = UВ = J = a X,                                                            (687)

где

                                           UА = - (КА/F)(dРА/dt);                                                  (688)

                                           UВ = (КВ/F)(dРВ/dt).                                                         (688)

       При двух степенях свободы (n = 2) уравнения переноса принимают вид:

                                           U = U = J1 = a 11 X1 + a 12 X2;                                       (689)

                                           U = U = J2 = a 21 X1 + a 22 X2;                                       (689)

где

                                           U = (К11А/F)(dР/dt);                                                    (690)

                                           U = (К11В/F)(dР/dt);                                                    (690)

                                           U = (К22А/F)(dР/dt);                                                    (691)

                                           U = (К22В/F)(dР/dt).                                                    (691)

       Интегрирование дифференциальных уравнений статодинамического переноса (687) и (689) дает возможность найти зависимость величин Х и J от времени.

 

Приближенный метод.

 

       С течением времени, (t ® ¥) потенциал каждой из систем (подсистем) стремится к некоторому равновесному (среднему «калориметрическому») значению

                                           Рр = РА = РВ.                                                                     (692)

       Это значит, что величину Рр можно условно рассматривать в качестве потенциала Рс воображаемой окружающей среды, до которого разряжаются (или заряжаются) изучаемые системы. Тогда задача обмена между системами сводится к более простой задаче независимого заряжания каждой из систем.

       Величина Рр находится из уравнения баланса заряда:

                                           0 = КАА0 – Рр) = КВр – РВ0);                                 (693)

Рр ’ = (КАРА0 + КВРВ0)/(КА + КВ).                                    (694)

       При этом вместо действительных сил и коэффициентов переноса используются фиктивные, определяемых из условия равенства действительных и фиктивных потоков:

                                           ХАф = - dPАф = РА – Рр;                                                    (695)

                                           ХВф = - dPВф = Рр – РВф;                                                   (695)

                                           Х = ХАф + ХВф = РА – РВ;                                                 (696)

                                           aАф = a(РА0 – РВ0)/(РА0 – Рр);                                          (697)

                                           aВф = a(РА0 – РВ0)/(Рр – РВ0).                                          (697)

       Например, для двух систем А и В при n = 1 вместо уравнений (687) получаются следующие приближенные дифференциальные статодинамические уравнения переноса:

                                           UА = JА = aАф ХАф;                                                           (698)

                                           UВ = JВ = aВф ХВф;                                                           (698)

                                           UА @ UВ.                                                                           (698)

       Термическая работа диссипации вычисляется по формуле типа (681):

                   Qд = (1/2)ХАф0 + (1/2)ХВф0 = (1/2)(РА0 – РВ0) DЕ0 дж,             (699)

где 0 определяется выражением (693).

       В случае двух степеней свободы (n = 2) и двух подсистем А и В приближенные дифференциальные уравнения статодинамического переноса имеют вид:

                                           U = J = a 11Аф X1Аф + a 12Аф X2Аф;                                 (700)

                                           U = J = a 21Аф X1Аф + a 22Аф X2Аф;                                 (700)

                                           U = J = a 11Вф X1Вф + a 12Вф X2Вф;                                 (701)

                                           U = J = a 21Вф X1Вф + a 22Вф X2Вф,                                 (701)

где

                                           Х1Аф = - dP1Аф = Р – Р;

                                           Х2Аф = - dP2Аф = Р – Р;

                                           Х1Вф = - dP1Вф = Р – Р;

                                           Х2Вф = - dP2Вф = Р – Р;

                                           Х1 = Х1Аф + Х1Вф;

                                           Х2 = Х2Аф + Х2Вф;

                                           J @ J1 В;

                                           J @ J2 В;

                                           a12Аф = a21Аф @ a12Вф = a21Вф.

       Если объединенная система, состоящая из подсистем А и В, взаимодействует с окружающей средой, то величина Рр изменяется со временем. В первом приближении этим изменением можно пренебречь или воспользоваться средним значением Рр за процесс.

       Изложенный способ замены процессов обмена процессами независимого заряжания является приближенным. Его точность снижается по мере возрастания степени неравновесности подсистем. Однако существуют приемы, которые позволяют сделать этот способ сколь угодно точным [6].

       В заключении отметим, что методы статодинамики позволяют существенно неравновесную реальную систему, каковой является, например, совокупность подсистема А и В, заменить неизмеримо более простым случаем взаимодействия отдельных равновесных подсистем А и В. Этот прием оказывается ценным при изучении фазовых, химических и микроскопических превращений.

 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 167; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!