Правила построения векторных диаграмм
1) При изображении синусоидальных ЭДС, напряжений и токов из начала координат проводят радиус-векторы, представляющие в заданном масштабе указанные величины. Масштаб для различных величин также может быть различным.
2) Выбирают произвольный вектор в качестве основного (обычно ось OX ), а все остальные векторы строят по отношению к нему с учетом сдвига фаз.
3) Для изображения сдвига фаз положительные углы откладывают против направления движения часовой стрелки (опережение по фазе), отрицательные углы — по направлению движения часовой стрелки (отставание по фазе).
4) Векторные диаграммы строят только для амплитудных и действующих значений величин.
а) б)
Рисунок 3.5 – Векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (а) и отрицательном (б) сдвиге фаз
На рисунке 3.5 показаны векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (рисунок 3.5, а) и отрицательном (рисунок 3.5, б) сдвиге фаз между ними.
Комплексное представление синусоидальных величин. Понятие о комплексной амплитуде и комплексе действующего значения величины
Любое комплексное число A& можно изобразить на комплексной плоскости
точкой с радиус-вектором A& (рисунок 3.6, а) и представить в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:
54
| A&= A e j α = A (cos α + j sin α )= a + bj , | (3.14) | |
| m | m | |
где A m и α — модуль и аргумент комплексного числа, a и b — его действительная (вещественная) и мнимая части.
а) б)
Рисунок 3.6 – Изображение комплексного числа (а) и комплекса синусоидальной величины (б) радиус-вектором на комплексной плоскости
Ось абсцисс +1 на комплексной плоскости называется действительной
(вещественной) осью, ось ординат + j — мнимой осью, число j = 
−1 — мнимой
единицей.Модуль A m определяет длину радиус-вектора,изображающего комплексноечисло A& , аргумент α — угол его наклона к действительной оси +1, вещественная и мнимая части a и b — проекции на координатные оси +1 и + j (рисунок 3.6, а).
| Величины A m , α , | a и b связаны соотношениями: | ||||||||||||||
| A = | a2+ b2, | α = arctg(b a), | a = A | cos α , b = A sin α . | (3.15) | ||||||||||
| m | m | m | |||||||||||||
| При выполнении некоторых алгебраических операций над комплексными | |||||||||||||||
| числами оказываются полезными также формулы Эйлера: | |||||||||||||||
| e+ j α = cos α + j sin α , | e− j α = cos α − j sin α . | & | (3.16) | ||||||||||||
| α = ω +ψ | a , | ||||||||||||||
| Если | t | то произвольную комплексную функцию A(t ) можно записать | |||||||||||||
| на основании формул Эйлера в виде: | )+ jA sin(ω t +ψ | ||||||||||||||
| A&(t ) | = A e j (ω t+ψ a )= A cos(ω t +ψ | a | a | ). | (3.17) | ||||||||||
| m | m | m | |||||||||||||
| Действительная | часть выражения | (3.17) | представляет | собой | функцию, | ||||||||||
изменяющуюся по закону косинуса, а мнимая часть — функцию, изменяющуюся по закону синуса:
| & | Re A&(t )= A m cos(ω t +ψ a ), Im A&(t )= A m sin(ω t +ψ a ), | (3.18) | |
| & | |||
| где Re A(t ) и | Im A(t )обозначают операции взятия действительной и мнимой части | ||
комплексного числа A&(t ). Из (3.18) следует, что любую синусоидальную функцию a(t ),
| определяемую формулой (3.13), можно записать так: | = | & | |||||||||
| = | ω +ψ | = | j (ω t+ψ a ) | ||||||||
| a(t ) | A m sin( t | a ) | Im{A m e | } | Im A(t ). | (3.19) | |||||
| Соотношение (3.19) называется комплексной или символической формой записи | |||||||||||
| синусоидальной величины a(t ), а функция | (3.20) | ||||||||||
| A&(t )= A m e | j (ω t+ψ a ) | ||||||||||
55
— ее комплексным мгновенным значением. Графическое представление комплексной функции A&(t ) аналогично представлению синусоидальных величин вращающимися векторами (рисунок 3.6, б). Это означает, что синусоидальную величину a(t ) можно
изобразить на комплексной плоскости как проекцию вращающегося вектора A&(t ) на ось + j (рисунок3.6,б).При неизменной частоте тока в цепи(ω = const )указанноеизображение принято рассматривать для момента времени t = 0 в виде комплексной амплитуды A&m или комплексного действующего значения (комплекса) A&:
| A& | = A e j ψ a ,A& | = Ae j ψ a , | (3.21) |
| m | m |
где A = A m 2 — действующее значение a(t ).
Различные формы комплексного представления синусоидального тока, напряжения и ЭДС показаны в таблице 3.2.
Таблица 3.2 – Комплексное представление синусоидального тока, напряжения и ЭДС
| Синусоидальная | Сила тока | Напряжение | ЭДС | |
| величина | ||||
| Функциональное | i(t )= I m sin(ω t +ψ i ) | u(t )= U m sin(ω t +ψ u ) | e(t )= E m sin(ω t +ψ e ) | |||||||||||||
| представление | ||||||||||||||||
| Символическое | i(t )= Im{I m e j (ω t+ψ i )} | u(t )= Im{U m e j (ω t+ψ u )} | e(t )= Im{E m e j (ω t+ψ e )} | |||||||||||||
| (комплексное) | ||||||||||||||||
| представление | ||||||||||||||||
| Комплексное | I&m (t ) | = I m e | j (ω t+ψ i ) | U& m (t ) | = U m e | j (ω t+ψ u ) | E&m (t ) | = E m e | j (ω t+ψ e ) | |||||||
| мгновенное | ||||||||||||||||
| значение | ||||||||||||||||
| Комплексная | I& | = I | m | e j ψ i | U& | = U | m | e j ψ u | E& | = E | m | e j ψ e | ||||
| амплитуда | m | m | m | |||||||||||||
| Комплекс | I& = Ie j ψ i | U& = Ue j ψ u | E& = Ee j ψ e | |||||||||||||
| величины | ||||||||||||||||
| Примечание –Комплексная амплитудаA&mи комплексA& | содержат информацию | |||||||||||||||
только о двух параметрах синусоиды — амплитуде A m и начальной фазе ψ a , не отражая
ее третьего параметра — угловую частоту ω . Поэтому переход от комплексной формы представления величин к форме мгновенных значений осуществляется согласно формулам
| a(t ) | = | & | j ω t | }, | a(t ) | = | Im{ | & | j ω t | }. | (3.22) | |
| Im{A m e | 2 Ae |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 364; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!