Закон Ома в комплексной форме. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей



 

Если к цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L и C (рисунок3.11),приложено синусоидальное напряжение

u = U m sin(ω t +ψ u ),

 

то согласно результатам, представленным в разделе 3.5, ток в ней также будет синусоидальным:

i = I m sin(ω t +ψ i ).

 

 

Рисунок 3.11 – Одноконтурная электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости

 

На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:

 

u R + u L +u C = u

 

или

 

1 t

     

Ri + L

di

+ u C (0)+

idt = u ,

(3.54)

 
       

dt

C

 
         
     

0

     

где u C (0 ) — начальное напряжение на конденсаторе.

   
               

Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с стоком, на индуктивности опережает, а на ёмкости отстает от тока по фазе на π 2 , то соотношение (3.54) можно преобразовать к виду

   

sin(ω t +ψ

)+ ω LI

                 

π

 

1

             

π

     

RI

     

sin

ω t +ψ

 

+

     

 

+

   

I

   

sin

ω t +ψ

 

   

 

+

 
             

ω C

     

2

 
  m i  

 

1

m

          i    

2

   

m

    i        
     

+

 

I

m

+ u

C

(0 ) = U

m

sin(ω t +ψ

u

).

           

(3.55)

 
     

ω C

               
                                                     

и уравнении (3.55) все слагаемые, кроме двух последних в его левой части, не содержат постоянных составляющих, следовательно,

ω1C I m + u C (0)=0.

Уравнение (3.55) должно быть справедливо для любого момента времени t . Рассмотрим далее момент времени t , для которого ω t = 0 . Выражение (3.55) тогда преобразуется в равенство


 

64


 

X = X L X C .

                 

π

 

1

         

π

             

RI

m

sin ψ

i

+ ω LI

m

sin ψ

i

+

 

 

 

+

   

I

m

sin ψ

i

 

 

 

= U

m

sin ψ

u

.

(3.56)

 
 

ω C

   
           

2

         

2

         
                                                           

Используя комплексное представление синусоидальных величин (3.21), уравнение (3.56) представим относительно комплексных амплитуд тока и напряжения:

I m e j ψ i          R + ω Le j π2+ ω1C e j π2= U m e j ψ u ,

 

откуда, разделив полученное соотношение на  2 , перейдем к аналогичному равенству для комплексов величин:

I&{R + j(X L X C )}= U&.

(3.57)  

Из (3.57) окончательно получаем:

         

I&=

U&

, I& = U& Y .

(3.58)

 
 

Z

 

 
             

Соотношения (3.58) являются законами Ома в комплексной форме, а величины Z

о Y в них определяют соответственно комплексное сопротивление и комплекснуюпроводимость ветви или цепи. Учитывая определение (3.23) для комплексного сопротивления Z согласно (3.57) можем записать:

&

     

Z

=

U

= Ze j ϕ = R + j( X L X C )= R + jX .

(3.59)

 

I&

 
   
         

Действительная часть R комплексного сопротивления называется активной составляющей сопротивления (активным сопротивлением),коэффициент X в мнимойчасти — реактивной составляющей сопротивления (реактивным сопротивлением):

(3.60)

Полное сопротивление Z ,равное модулю комплексного сопротивления(3.59),определяется выражением

Z = R2+(X L X C )2=

R2+ X 2.

        (3.61)  

Для величин R , X и Z справедливы следующие соотношения:

       
   

X

X

L

X

C

     

R = Z cos ϕ , X = Z sin ϕ , ϕ = arctg

   

 

= arctg

   

,

(3.62)

 
       

R

   
   

R

 

         

где ϕ — угол сдвига фаз между напряжением и током.

Формулы (3.61) и (3.62) в теоретической электротехнике интерпретируют символически, как геометрические соотношения между сторонами треугольника сопротивлений —прямоугольного треугольника с катетами R , X и гипотенузой

с (рисунок 3.12, а).

рамках указанной интерпретации формула (3.61), очевидно, есть теорема Пифагора для треугольника сопротивлений,а формулы(3.62) —соотношения междуего катетами и гипотенузой.

Учитывая (3.25) и (3.59), можно получить выражение для комплексной проводимости ветви:

     

1

    1     R jX   R   X   R

X

L

  X

C

   

Y =

     

=

   

=

 

=

 

j

 

=

 

j

 

 

,

 
                           
        Z     R + jX   R2+ X 2   Z 2   Z 2   Z 2

Z

2  

Z 2

 

откуда, полагая


65


g =

R

,

b

=

X L

,

b

=

X C

,

(3.63)

 
       
 

Z 2

L  

Z 2

C

Z 2

   
             

перейдем к равенству

                   

 

Y =

1

 

= Ye j ϕ = g j(b

b )= g jb .

(3.64)

 
       
       

Z

 

L

C

   
           
       

g комплексной

 

активной

 

Действительная часть

проводимости называется  

составляющей проводимости (активной проводимостью),коэффициент b в мнимойчасти — реактивной составляющей проводимости (реактивной проводимостью):

b = b L b C . (3.65)

Полная проводимость Y ,равная модулю комплексной проводимости(3.64),определяется выражением

Y = g 2+(b b   )2

= g 2

+ b2.

      (3.66)  
L

C

                     

Для величин g , b и Y справедливы следующие соотношения:

       

g = Y cos ϕ , b = Y sin ϕ ,

     

b

b

b      

ϕ

= arctg

   

 

= arctg

L C

.

(3.67)

 
         
       

 

       

g

     
       

g

         

Формулам (3.66), (3.67) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами g , b и гипотенузой Y (рисунок 3.12, б). Этот треугольник называется

 

треугольником проводимостей.

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.12 – Треугольник сопротивлений (а) и треугольник проводимостей (б)

 

Примечания

 

1 Индуктивное и ёмкостное сопротивления X L и X C являются арифметическими

 

величинами, зависящими только от параметров элементов и угловой частоты, реактивное же сопротивление X — величина алгебраическая и его знак зависит от соотношения между X L и X C . Аналогичным свойством обладают также индуктивная и

ёмкостная проводимости b L и b C в отношении реактивной проводимости b .

 

2 Соотношения (3.63) устанавливают связь между активными, индуктивными и ёмкостными сопротивлениями, т.е. величинами R , X L и X C , и соответствующими им

 

проводимостями g , b L и b C . Как следует из этих формул, в цепи синусоидального тока

 

активную, индуктивную и ёмкостную проводимости в общем случае нельзя рассматривать как величины обратные соответствующим сопротивлениям.Вчастном случае ветви, содержащей только однотипные пассивные элементы, как следует из (3.32), (3.41) и (3.50), величины g , b L и b C могут быть определены как обратные к

 

величинам R , X L и X C соответственно.


 

66


3 Из формул (3.58), (3.61) и (3.66) следует, что действующее значение тока в цепи можно рассчитать как

I =

U

=

U

, I = UY = U g 2 + (bb )2 .

(3.68)

 
     
 

Z

R2+( X L X C )2

LC    
       

Соотношения (3.68) называются законами Ома для действующих значений силы тока и напряжения.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 48;