Гармонические колебания. Среднее и среднеквадратичное (действующее) значения гармонической функции.
Колебательный процесс называется гармоническим, если мгновенное значение напряжения или тока изменяется во времени по закону u = Umcos(ωt + ψ) или u = Umsin(ωt + ψ´).
Гармоническое колебание является периодической функцией времени. На рис. 4.1 отмечены амплитуда Um (максимальное значение) колебания и его период Т = 1/f, где f – частота колебания. Величина θ = ωt + ψ называется текущей фазой колебания и представляет собой некоторый угол, величина которого зависит от времени. Постоянная величина ψ называется начальной фазой, определяющей величину смещения гармонической функции относительно начала координат.
Величина ω пропорциональна частоте f; она носит название угловой частоты и равна 2πf.
Угловая частота является скоростью изменения текущей фазы, т. е.
и измеряется в радианах в секунду (рад/с).
При t = 0 значение функции определяется амплитудой и величиной начальной фазы
Среднее и среднеквадратичное (действующее) значения гармонической функции.
Среднее значение периодической функции за период Т определяется по Формуле
В случае гармонического колебания среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f(t) и осью абсцисс и равна нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны. Поэтому под средним значением гармонической функции понимают среднее значение за полпериода.
|
|
|
Для гармонического напряжения u = Umcosωψ
Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции
вычисляется по формуле
Из этой формулы следует, что величина F2 представляет собой среднее значение функции [f(t)]2 за период Т, т. е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [f(t)]2 и осью абсцисс за один период.
При токе i = Imcosωt
Количество теплоты, выделенное гармоническим током за время, равное периоду колебаний,
Выделенная за это же время постоянным током теплота
Из условия равенства количества теплоты, выделяемой гармоническим и постоянным токами:
получим
т. е. действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R за период времени Т, выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.
Представление гармонических функций с помощью комплексных величин.
При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цепи сводится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний. В связи с этим был разработан метод комплексных амплитуд, основанный на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, которые выражаются аналитически в комплексной форме. Метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.
|
|
|
Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд могут быть представлены как проекции вектора U m на комплексной плоскости вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой ω (рис. 5.1) на оси координат.
Проекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функцией
а на мнимую ось – синусоидальной функцией
Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах:
· алгебраической
· показательной
· тригонометрической
Модуль вектора
Аргумент
В случае гармонического колебания аргумент комплексного числа U m является функцией времени α = ω · t + ψ.
Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражается в показательной форме
в тригонометрической форме
Кроме рассмотренного выше, возможен и несколько иной способ представления гармонических колебаний в виде двух вращающихся навстречу векторов (рис. 5.2).
|
|
|
На основании формулы Эйлера:
Или
Вращение векторов в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки (рис. 5.2) связано с понятием отрицательной частоты, что, конечно, лишено физического смысла, однако позволяет упростить решение многих задач в радиотехнике и электронике.
Таким образом, при рассмотрении напряжений и токов в цепи при гармоническом воздействии может быть построена векторная диаграмма, представляющая собой совокупность радиус-векторов, отображающих комплексные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω.
Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токов в момент времени t = 0.
На рис. 5.3 приведено схематическое изображение цепи переменного тока.
Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник, состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением:
|
|
|
Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется его комплексной проводимостью
Учитывая, что
Получаем
Отношение 
– полное входное сопротивление (модуль); ψU – ψi – сдвиг фаз между напряжением и током.
Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:
где Rвх – вещественная активная составляющая; Xвх – мнимая реактивная составляющая комплексного сопротивления
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 2046; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!