Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.
Если кривая y= f( x) на отрезке [ a; b] - гладкая (т. е. производная y’= f’( x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
При параметрическом задании кривой x= x( t), y= y( t) [ x( t) и y( t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:
Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:
Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:
где y=f(x) 
[a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:
Практические задания
1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:
1) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
2) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
__________________________________________________________________________________
3) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
4) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
|
|
|
5) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
6) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
7) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
8) 
Решение:
Проверка:
- верно.
__________________________________________________________________________________
9) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
2. Найти неопределенные интегралы:
1) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
2) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
3) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
4) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
5) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
6) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
7) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
|
|
|
8) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
9) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
10) 
.
Решение:
__________________________________________________________________________________
11) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
12) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
13) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
14) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
15) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
3. Вычислить определенный интеграл:
1) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
2) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________
3) 
.
Решение:
____________________________________________________________________________
4. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:
1) 
.
Решение:
- интеграл I рода.
- сходящийся.
____________________________________________________________________________
|
|
|
2) 
.
Решение:
- интеграл II рода.
- расходящийся.
____________________________________________________________________________
3) 
.
Решение:
___________________________________________________________________________________
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 182; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!