Метод непосредственного интегрирования.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 10Следующая ⇒

Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

Примеры.

х⁸ 8

х⁷dх

Решение. х⁷dх = + С

2 ³ х² dх

х^5/3 5/38

Решение. Имеем 2 ³ х² dх = 2х^2/3dх

6 5

Применяя формулы, получаем 2х^2/3dх = 2 х^2/3dх = 2 + С.

Таким образом, 2х^2/3dх = х ³ х² + С.

3dх cos²3х

Решение. Согласно известному свойству дифференциала, 3dх = d(3х), а потому

Применяя формулу, получаем tg3х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

(2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх

ò вч

Решение. (2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх =

= 2 х³dх + 9 х²dх – 5 х^1/2 + 4 dх/ х =

х^3/2 3/2

х³ 3

х⁴ 4

= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =

= х⁴/ 2 + 3х³ – 10/3 х х + 8 х + С.

Метод замены переменной (способ подстановки).

Наиболее общим приёмом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл f(х)dх не является табличным, но путём но путём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному.

Метод подстановки основан на применении следующей формулы:

f(х)dх = f[j(t)]j’(t)dt, (1)

где х = j(t) – дифференцируемая функция от t, производная которой j’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.

Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле f(х)dх переменная х заменяется переменной t по формуле х = j(t) и, следовательно, dх произведением j’(t)dt.

Справедливость формулы (1) будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатся одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем

d [ f(х)dх ] = f(х)dх = f [j(t)] j’(t)dt

Продифференцировав правую часть формулы, имеем

d f [j(t)] j’(t)dt = f [ j(t) ] j’(t)dt

Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = j(t), dt = j’(t)dх.

Примеры.

1) (2х + 3)⁴dх.

Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение и.

Следовательно, в данном случае нужно применить подстановку и = 2х + 3, отсюда имеем dи = 2dх и dх = dи/2, а потому

(2х + 3)⁵ 10

(2х + 3)⁴dх = и⁴(dи/2) = 1/2 и⁴dи =

= 1/2 * и⁵/5 + С = + С.

Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в). имеем тогда

(uv)’ = uv’ + vu’

так что uv’ = (uv)’ – vu’

Беря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что uv’dх = uv – vu’dх, (1)

Если оба интеграла существуют.

Пользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в следующем виде:

udv = uv – vdu. (2)

Формула (2) даёт возможность вычисления интеграла udv свести к вычислению интеграла vdu , который, быть может, берётся легче. Этот метод называется интегрированием по частям.

Примеры.

1) J = хе^хdх.

Положим и = х, dи = dх, dv = е^хdх,

v = е^хdх = е^х

Следовательно,

J = хе^х – е^хdх = хе^х – е^х + С.

2) ln хdх .

Положим, u = ln х, dи = dх/х

dv = dх v = dх = х.

Следовательно,

J = х ln х – dх = х ln х – х + С..

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 209; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!