Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.

В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.

Архимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних V_п и нижних v_п и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ® ¥. Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:

       хdх = а²/2, х²dх = а³/3, (х2 + вх)dх = а³/3 + а²в­/2 

В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:

                    1/2 sin j dj = 1, sin j dj = – cos a + 1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач различными методами.   

В виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах».

Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е>0. Делим ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы объёмов которых, соответственно обозначим, V_on и V_вn. Их разность равна объёму цилиндрика АА¹, то есть, pа²(в/п), который подбором достаточно большего п может быть сделан сколь угодно малым.

Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае

п-1 k=0

                   V_оп = phа² + ph(х₁)² + ph(х₂)² +ph(х_п-1)² =

                   = phå (х_k)², (х₀ = 0)

Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

Так как х²/а² + у²/в² = 1, то х² = а²/в²(в² – у²) и далее каждого сечения:                          (х₁)² = а²/в²(в² – h²),

                   (х₂)² = а²/в²(в² –(2h)²),

                   …………………………,

п-1 k=0

п-1 k=0

                   (х_п-1)² = а²/в²(в² –[(п–1)h]²),

откуда        V_оп = åph(х_k)² = (phа²)/в²[пв² – h²åJ²], где

п J =1

J – последовательные натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида (п³h²)/3 < å(Jh)² < ((п+1)³ h³)/3

п J =1

откуда (так как пh = в)

в а

                   (в³)/3 < å(Jh)²h < в³/3 + в³/п + в³/п² + в³/3п³

что до известной степени эквивалентно оценке для ò х²dх

из этих оценок получается

              V_оп = p(а²/в²)h [пв² – h²(п³/3)] = pа²в(1–1/3) = 2/3pа²в

Аналогично V_вп < 2/3pа²в.

Но так как согласно лемме, V_оп – V_вп < Е, то искомый объём сегмента

                   V < 2/3pа²в,

то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.

Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.

Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 415; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!