Основные свойства определённого интеграла.

Теорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а,в] (а < с < в). Тогда имеет место равенство

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

если все эти три интеграла существуют.

_п ⁱ⁼¹

Доказательство: Разобьём [а,в] на п частичных интервалов [а,х₁], [х₁,х₂], …, [х_п–₁, в] длиной соответственно Dх₁, Dх₂, …, Dх_птак, чтобы точка с была точкой деления. Пусть, например, х_т= с (т < п). Тогда интегральная сумма

å f(a _i)Dх_i

_п ^i=т

_т ⁱ⁼¹

_п ⁱ⁼¹

соответствующая интервалу [а,в], разобьётся на две суммы:

å f(a _i)Dх_i = å f(a _i)Dх_i = å f(a _i)Dх_i

соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала Dх_i, то есть, при max Dх_i ® 0, будем иметь

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть

k f(х)dх = k f(х)dх.

Доказательство: По определению:

_п ⁱ⁼¹

max Dх_i ® 0

k f(х)dх = lim [k f(a₁)Dх₁ + k f(a₂)Dх₂+ … + k f(a _п)Dх_п] =

max Dх_i ® 0

= lim å k f(a _i)Dх_i.

_п ⁱ⁼¹

Но так как, согласно одному из свойств предела,

_п ⁱ⁼¹

max Dх_i ® 0

lim å k f(a _i)Dх_i = k lim å f(a _i)Dх_i,

_п ⁱ⁼¹

max Dх_i ® 0

и так как, по определению, lim å f(a _i)Dх_i = f(х)dх

max Dх_i ® 0

то k f(х)dх = k lim å f(a _i)Dх_i = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.

Доказательство: Докажем, например, что

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

_п ⁱ⁼¹

в самом деле имеем:

_п ⁱ⁼¹

max Dх_i ® 0

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = lim å[ f₁(a _i)dх + f₂(a _i)dх – f₃(a _i)]Dх_i=

max Dх_i ® 0

= lim å f₁(a _i)Dх_i + lim å f₂(a _i)Dх_i – lim å f₃(a _i)Dх_i=

= f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Если функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов D_i длинойDх_i= х f(a _i) ³ т – х_i–1 (i = 1, …, п).

Так как f(a _i) ³ т при любом a _i, то

_п ⁱ⁼¹

f(a _i)Dх_i ³ т D х_i

_п ⁱ⁼¹

откуда å f(a _i)Dх_i³ т åDх_i

_п ⁱ⁼¹

или å f(a _i)Dх_i³ т(в – а)

так как åDх_i = Dх₁+Dх₂ + … + Dх_п = в – а.

Так как, далее, f(a _i)£ т, при любом a _i , то

_п ⁱ⁼¹

_п

f(a _i)Dх_i£ МDх_i

_п ⁱ⁼¹

а потому å f(a _i)Dх_i£ М åDх_i,

то есть, å f(a _i)Dх_i£ М(в – а).

_п ⁱ⁼¹

Таким образом, имеем

т(в – а) £ å f(a _i)Dх_i£ М(в – а).

Переходя к пределу при max Dх_i ® 0, получим неравенства

т(в – а) £ f(х)dх £ М(в – а)

т £ £ М

f(х)dх

(в – а)

Из этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в], принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)dх

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т £ f(с)£ М).

Таким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

f(х)dх = (в – а)f(с)

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.

_п ⁱ⁼¹

Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

max Dх_i ® 0

S = lim å f(a _i)Dх_i

_п ⁱ⁼¹

Но, по определению,

max Dх_i ® 0

f(х)dх = lim å f(a _i)Dх_i

следовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

_п ⁱ⁼¹

å f(a _i)Dх_i

равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.

Теорема. (Ньютона–Лейбница)

^I ^х

Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f , рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)₁, х Î [а,в] .

Доказательство:Пусть х Î [а,в], х + Dх Î [а,в]; тогда в силу теоремы 1 пункта 2.12. получим

F(х + D х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt

Найдём соответствующее приращение DF функции F. Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем

DF = F(х + D х) – F(х) = f(t)dt = f(с) D х, где

с Î [х, х + D х]

f(с)Dх Dх

DF Dх

Вычислим производную функции (V):

Dх ® 0

F’(х) = lim = lim = lim f(с)

Если Dх ® 0, то х + Dх ® 0 и с ® х, так как с Î [х, х+ D х]. Тогда в силу непрерывности f получим

с ® х

F’(х) = lim f(с) = f(х)

Что и требовалось установить.

Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).

Действительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она интегрируема на любом на [а,х], где х Î [а,в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f . Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f можно записать в виде

f(х)dх = f(t)dt + С, х Î [а,в]

где С – произвольная постоянная.

Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле

f(х)dх = Ф(в) – Ф(а).

Доказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем