Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

Dу = f’(х)Dх или d_хх = f’(х)d_хх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

х = х(t).

Теорема. Если функции х = j(t) и у = y(t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t₁ и х = х₁ = j(t₁), то дифференциал сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде

d_tу = f’(х₁) d_tх.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем

d_tх = j’(t₁) d_tt (1¹)

d_tу = y’(t₁) d_tt (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

y’(t₁) = f’(х₁) j’(t₁)

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

d_tу = f’(х₁) j’(t₁) d_tt,

отсюда в силу формулы (1¹)

d_tу = f’(х₁) d_tх (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

dу = f’(х) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.

Значение формулы (4)становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то

у’_х = f’(х);

когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то

у’_х= f’(и)и’_х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:

d_ху = f’(х) d_хх, d_ху = f’(и) d_хи

или

dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:

и = f(х), J = j(х),

имеющие непрерывные частные производные.

Если положить у = и + J,

то у’_х = и’_х + J’_х,

откуда у’_х dх = и’_хdх + J’_хdх,

следовательно dу = dи + dJ,

то есть d(и + J) = dи + dJ.

Аналогично dси = сdи,

где с – постоянное число;

Jdи –иdJ J²

и J

d(иJ) = иdJ + Jdи,

d ( ) = .

Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

Геометрическая интерпретация дифференциала.

Дифференциал можно геометрически представить следующим образом:

Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg a ^. dх = СД.

Таким образом, если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.

lim ^Dх^®0

Dу – dу Dх

lim ^Dх^®0

Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от Dу, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как

= a (Dх) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

Dу = dу = f’(х)dх.

Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.

Примеры. 1)Пусть f(х) = cos х.

Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх

х³ 3

2) Пусть f(х) = х².

Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х² = f(х) или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

Известно, что если две функции f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j’(х) или f’(х)dх = j’(х)dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если

f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то

f(х) = j(х) + С.

Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

В самом деле, если х₁Î (а,в) и х₂ Î (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁< х₀< х₂. Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

Определение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом

f(х)dх

Таким образом, по определению,

f(х)dх = F(х) + С, (А)

где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла.

Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!