Замены переменных в определённых интегралах.



Пусть требуется в определённом интеграле

                   f(х)  

применить подстановку х = j(t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле:   

                   f(х) = f [j(t)]j’(t)dt,

где j(a) = а, j(b) = в.  

Эту формулу мы докажем при условиях:

1. Функции j(t) и j’(t) непрерывны в [a, b].

2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = j(t) принимает в [a, b].

3. j(a) = а, j(b) = в.

4.

ò
Доказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = j(t) в [a, b]. Пусть

                 F(х) = f(х)dх, т £ х £ М.  

ò
По теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [a, b] справедливо равенство

                   F[j(t)] = f[j(t)]j’(t)dt.  

Отсюда         f[j(t)]j’(t)dt = F[j(b)] – F[j(a)] = F(в) – F(а)

Так как            f(х) = F(в) – F(а)

то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.

Пример. Вычислить интеграл

J = х 1+х2

Ö 2  1
Подставим 1+х2  = t, то есть, х = t2 –1 . Имеем: t = 1, при х =0, t = Ö2, при х = 1. Так как = tdt/ t2 –1 , то

                   J = t2dt = t3/3| = (2Ö2 – 1)/3.

Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х) и j(х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,

                   F(х) = f(х) j(х).

Тогда          F’(х) = f(х) j’(х) f’(х) j(х).

в а
в а
Так как         F’(х) = F(х)| ,

в а
то                 [f(х) j’(х) f’(х) j(х)] = f(х) j(х)| ,

откуда           f(х) j’(х) = f(х) j(х)| – f’(х) j(х)

Примеры.

1) Вычислить интеграл. 

                        х cos х dх  

в а
Положив f(х) = х, j(х) = sin х получим:

                   х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2

2) Вычислить интеграл

                   ln х dх.

21
 Положив f(х) = ln х, j(х) = х получим:

21
21
                   ln х dх = [х ln х] – х(/х) =

                   = [х ln х][х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1


Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.

Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, особенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление квадратур, кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т.д.


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 20;