Точное значение перемещения вычисляется по формуле
.
Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы. [10]
Введение понятия интеграла как приращения первообразной ни в одном из рассмотренных учебников не используется, примеры данного метода введения будут приведены в следующей главе.
Различные методы изучения приложений интеграла в
Физике.
Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I . Составление интегральных сумм.Масса стержня переменной плотности.Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х) 
0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a ; b] функция. Общая масса этого отрезка 
,где a=x0<x1<…<xn=b, Δxi =xi+1-xi.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. [11]Центр масс.При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата 
центра масс системы материальных точек А1, А2,…, А n с массами m 1 , m 2 ,…, mn, расположенных на прямой в точках с координатами x 1 , x 2 ,…, xn, находится по формуле 
.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня – отрезка [a ; b] оси Ох – распределена масса плотностью ρ(х), где ρ(х) – непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна 
.Разобьем отрезок [a ; b] на n равных частей точками a= x0< x1<…< xn= b. На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной ρ( xk-1) на k-м отрезке (в силу непрерывности ρ(х) ). Тогда масса k-отрезка примерно равна 
, а масса всего стержня равна 
. Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы mk, помещенной в точке xk-1, получим, что координата центра масс приближенно находится так:
|
|
|
.
Теперь осталось заметить, что при 
числитель стремится к интегралу 
, а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу 
. [8]
Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.
II . Метод дифференциалов.
Электрический заряд.
Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a ; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I = I ( t ) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t ; t + dt] можно считать силу тока постоянной и равной I ( t ). Тогда дифференциал заряда запишем так: dq = I ( t ) dt. Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a ; b] можно записать в виде интеграла:
|
|
|
.
Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину. [2]
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 202; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!