Физические модели при введении понятия интеграла
Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).
Интеграл как предел интегральных сумм.
Работа переменной силы.
Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]
Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs , где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F (х) в каждой точке х некоторого промежутка [a ; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?
Разобьем отрезок [a ; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [xk -1 ; xk] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F ( xk )Δxk, а на всем отрезке – суммой:
An=F(x1) Δx1+…+F(xn) Δxn. (1)
Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).
Сумму (1) называют интегральной суммой функции F ( x ) на отрезке [a ; b]. При этом предполагается, что функция F ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b] и может принимать любые значения. Если 
и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма An стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F ( x ) на отрезке [a ; b] и обозначают 
.
|
|
|
2. Задача о вычислении массы стержня.
Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]
Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p = p ( x ). Найти массу стержня.
Рассмотрим массу стержня на отрезке [a ; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [xk -1 ; xk] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р( xk )Δxk, а на всем отрезке – суммой:
mn = p ( x 1 ) Δx 1 +…+ p ( xn ) Δxn . (2)
Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).
Точное значение массы стержня вычисляется по формуле
.
Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.
|
|
|
Задача о перемещении точки.
При введении определенного интеграла, в качестве задачи, приводящей к данному понятию, наиболее рациональным и простым для понимания учащимися является рассмотрение задачи о перемещении точки, т. к. с обратной задачей школьники уже встречались при изучении применения производной в физике.
Между положением (координатной) точки и её скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача – нахождение положения точки по её скорости – решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.
Задача. Пусть по прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v ( t ). Найти перемещение точки за промежуток времени [a ; b].
Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т. е. s = v ( b - a ). Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [a ; b] на n равных частей. Рассмотрим промежуток времени [tk -1 ; tk] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени tk: v = v ( tk ). Перемещение точки за промежуток времени [tk -1 ; tk] приближенно можно представить как произведение v ( tk )Δt k . Найдем приближенное значение перемещения s:
|
|
|
s ≈ S n ,
где S k =v(t 1 ) Δt 1 +…+v(t k ) Δtk.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 233; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!