Функция нескольких переменных
Ранее была рассмотрена функция одной переменной: С(t). Однако на практике может возникнуть необходимость в использовании компьютера для расчета функций двух и более переменных. Рассмотрим функцию двух переменных С(х, у) на прямоугольной области
.
Точно так же, как и в случае функции одной переменной, функцию двух переменных С(х, у) можно представить в дискретной форме в виде множества ее значений в узловых точках в прямоугольной области G. Введем N узловых точек по оси х и М узловых точек по оси у:
;
.
В качестве узловых точек на прямоугольной области G будем использовать точки с координатами 
, где 
и 
(рис. 1.3).
Тогда функция С(х, у) может быть представлена набором 
чисел 
где 
.Определим приближенное значение С(х, у) в произвольной точке области G с координатами (X, Y). Если точка с координатами (X, Y) лежит в области G , то 
и 
. Тогда найдется такое 
, что 
, и такое 
, что 
. Величины 
и 
известны. Следовательно, можно уже известным способом линейной интерполяции по одной только переменной х найти 
. Для этого воспользуемся формулой (1.1)
. (1.3)
Рис. 1.3. Дискретное представление функции двух переменных
Точно так же по известным значениям 
и 
по формуле (1.1) найдем 
:
. (1.4)
Точки 
, 
и 
имеют одну и ту же первую координату и отличаются только значениями второй координаты. Значения 
и 
известны. Следовательно, по формуле (1.1) с помощью линейной интерполяции по координате у можно получить
|
|
|
. (1.5)
Введем обозначения
.
Тогда, объединяя (1.3), (1.4) и (1.5) можно записать
. (1.6)
Таким образом, по формуле (1.6) на основании дискретного представления функции С(х, у) на прямоугольной области G можно определить значения С в любой (а не только узловой) точке области G.
Поскольку при определении C(X, Y) линейная интерполяция использовалась по каждой из двух координат, такой метод называется билинейной интерполяцией.
Контрольные вопросы к главе 1:
1. Полиномом какой степени можно интерполировать функцию, если известны ее значения в 4 точках
2. Введено в строй предприятие, работа которого сопровождается вредными выбросами в атмосферу в виде дисперсных частиц, которые осаждаются на территории предприятия. В связи с этим производится ежегодная очистка территории, а для контроля экологической обстановки на предприятии проводится ежегодный мониторинг содержания вредного вещества на поверхности. Результаты мониторинга за первые три года приведены в таблице. Методом интерполяции полиномом второй степени получить значение массы вредного вещества на 1 м2 территории предприятия ( 
, г/м2) через полгода после ввода предприятия в строй.
|
|
|
| t, годы | 0 | 1 | 2 |
| Y, г/м2 | 0 | 3 | 2 |
3. Методом билинейной интерполяции получить значение функции 
в точке 
, если известны значения 
в четырех точках:
| x | 0 | 0 | 1 | 1 |
| y | 0 | 1 | 0 | 1 |
| C | 1 | 2 | 3 | 4 |
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 157; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!