Аналогия между поступательным и вращательным движениями



Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ, линейной скорости
v – угловая скорость w, линейному (касательному) ускорению а – угловое ускорение ε.

Поступательное движение Вращательное движение
Кинематические характеристики движения  
Путь S м Угол поворота j рад
Время t с Период Т с
Скорость v м/с Угловая скорость w рад/с
Ускорение a м/с2 Угловое ускорение e рад/с2
Поступательное движение Вращательное движение        
Динамическиехарактеристики движения          
Масса m кг Момент инерции J кг × м2
Сила F Н Момент силы M Н×м
Импульс p кг ×м/с Момент импульса L=J×w кг ×м2
Второй закон Ньютона F=ma; F=dp/dt Уравнение динамики вращательного движения M=J×e; M=dL/dt    
Работа dA=F× dS Дж Работа dA=M×dj Дж
Кинетическая энергия EK=(mv2)/2 Дж Кинетическая энергия EKВР=(Jw2)/2 Дж
Мощность N=FV Вт Мощность N=М×w Вт

Поступательное движение можно рассматривать, как вращательное, с радиусом вращения, стремящимся к бесконечности, и угловой скоростью, стремящейся к нулю.

Момент инерции материальной точки и тела. Примеры вычисления момента инерции (цилиндр, шар).

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до рассматриваемой оси: .

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате ( ). Моментом инерции твердого тела называют сумму моментов инерции материальных точек массой , на которые можно разделить это тело, т. е. .

Переходя к бесконечно малым массам dm, получаем  

На основании этой формулы можно рассчитать момент инерции любого тела.

В качестве примера получим формулу момента инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси (рис. 1).

Разобьем цилиндр на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси. Объем такого слоя

, где h – высота цилиндра.

Поскольку цилиндр однороден, то масса dm выделенного слоя

, где r - плотность тела.

Получаем

.

Так как - объем цилиндра, а - его масса, формулу приводим к виду . Эта формула применима для цилиндра любой высоты, в том числе и для диска.

Аналогично можно рассчитать моменты инерции и других однородных тел:

- для полого тонкостенного цилиндра относительно оси симметрии , где R - радиус цилиндра;

- для прямого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, , где l - длина стержня;

- для прямого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, , где l - длина стержня;

- для шара относительно оси симметрии , где R - радиус шара.

При нахождении момента инерции тел относительно оси, не проходящей через центр масс тела, вычисления значительно усложняются. Однако в подобных случаях можно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями: .

 

Момент инерции твердого тела является мерой его инертности при вращательном движении.

Теорема Штейнера.

Теорема Штейнера применяется для установления связи между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей .

Теорема Штейнера — момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

 

Вывод теоремы

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:

,

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример применения

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле :

Пересчёт тензора инерции

Теорема Гюйнеса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор относительно произвольной точки из тензора относительно центра масс. Пусть — смещение от центра масс, тогда

 

где

 

— вектор смещения от центра масс, а — символ Кронекера.

 

16. Кинетическая энергия вращающегося тела.

 Кинетическая энергия - величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, то линейная скорость i-й точки vi = ωRi, R, - расстояние до оси. Следовательно:

Сопоставив формулы, можно увидеть, что момент инерции тела J является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m - мера инерции при поступательном движении.

В общем случае движение тввердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью ύc  и вращательного с угловой скоростью ὡ вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции этого тела

Кполн. =

Здесь - момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

 

17. Гироскоп. Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа

Гироскоп – прибор, имеющий свободную ось вращения и способный реагировать на изменение углов ориентации тела, на котором он установлен. При вращении гироскоп сохраняет свое положение неизменным. Гироскопы представляют собой вращающиеся с высокой частотой твердые тела. Ось вращения гироскопа может изменять свое направление в пространстве. Свойствами гироскопа обладают вращающиеся артиллерийские снаряды, винты самолетов, роторы турбин. Простейший пример гироскопа – волчок или хорошо всем известная детская игрушка юла. Тело, вращающееся вокруг определенной оси, которая сохраняет положение в пространстве, если на гироскоп не действуют какие-то внешние силы и моменты этих сил. При этом гироскоп обладает устойчивостью и способен противостоять воздействию внешней силы, что во многом определяется его скоростью вращения. Например, если мы быстро раскрутим юлу, а потом толкнем ее, она не упадет, а продолжит вращение. А когда скорость волчка упадет до определенного значения, начнется прецессия – явление, когда ось вращения описывает конус, а момент импульса волчка меняет направление в пространстве.

Гироскопическим эффектом называется явление сохранения неизменности своего направления в пространстве быстровращающимся осесимметричным твердым телом.

Гироскопический эффект свойственен небесным телам, артиллерийским снарядам, роторам турбин, устанавливаемых на судах, винтам самолетов и т.п.

Прецессия гироскопа

Прецессия — явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве.

Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 92) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой F, то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.

Рис.92

Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы (рис.92), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением и ее плеча относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных и .

Гармонические колебания (механические) и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Связь вращения и колебаний. Уравнение колебаний в комплексной форме.

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

0 ),

где x – смещение колеблющейся величины от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;  = 2 /Е = 2  – круговая (циклическая) частота;

v = 1| T – частота; T – период колебаний; 0- начальная фаза ; 0- фаза колебаний в момент t.

Круговая частота колебаний

где v и T  - частота и период колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

или  + 2 x = 0,

где m  - масса точки; k  - коэффициент квазиупругой силы ( k = m 2 ).


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!