Методика навчання розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Курс алгебри і початків аналізу передбачає навчити учнів розв'язувати трансцендентні рівняння й нерівності (тригонометричні, показникові, логарифмічні) та ірраціональні рівняння й нерівності. Це пов'язується з розглядом властивостей відповідних функцій. Відомо, що не існує загального способу розв'язування трансцендентних рівнянь і нерівностей. Проте за умов середньої школи доцільно ознайомити учнів зі способами розв'язування найпростіших та окремих видів таких рівнянь і нерівностей, до яких здебільшого зводиться розв'язування складніших. Практика свідчить, що доцільно звести в систему окремі види рівнянь і нерівностей за способами їх розв'язування.
Відповідно до чинної програми учні мають уміти розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння (sin х = a, cosx = a, tg.r = а) та деякі нескладні види тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших; навчитися розв'язувати нескладні показникові, логарифмічні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.
Тригонометричні рівняння і нерівності. У методичній літературі певний час велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонувалось називати:
1) рівняння, в якому змінна міститься лише під знаком тригонометричної функції (у такому разі рівняння вигляду x + sinx = 0 не належить до тригонометричних; його пропонували називати «трансцендентним»);
|
|
|
2) рівняння, в якому змінна міститься не тільки під знаком тригонометричної функції (тоді рівняння x + sinx = 0 вважалось тригонометричним).
Розбіжність в означеннях не є принциповою. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, що містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають їх нескінченну кількість. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.
Найпростіші тригонометричні рівняння. Це рівняння вигляду sin х = a, cos х = а, tg x = а.
Шкільна практика доводить, що часто учні правильно виконують потрібні перетворення, розв'язуючи складніші тригонометричні рівняння, і припускаються помилок під час розв'язування простіших рівнянь, до яких зводяться складніші. Тому важливо домогтися, щоб учні не формально запам'ятовували формули загального розв'язку, а усвідомлювали, чому отримано саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути два способи розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь: графічний і за допомогою одиничного кола. Покажемо це на прикладі розв'язування рівняння sinx = a.
Графічний спосіб. Спочатку вчитель нагадує учням, у чому полягає графічний спосіб розв'язування рівнянь: потрібно побудувати графіки функцій у = sin.r, у = а і знайти абсциси точок перетину цих графіків.
|
|
|
Відшукання розв'язків за допомогою одиничного кола. За цього способу також розглянемо два випадки. 1. Нехай 0 < а < 1. За означенням синуса, число а є ординатою точки Рх одиничного кола, тому ця точка має належати верхньому півколу. Позначимо на осі у точку А з ординатою а і проведемо через неї пряму, паралельну осі х (рис. 13.15). Ця пряма перетне коло в двох точках М1 і М2. Точка М1 належить дузі першої чверті, тому відповідне число х позначимо як arcsina. Всі інші числа, що відповідають точці M1, запишемо у вигляді формули
Деякі способи розв'язування тригонометричних рівнянь. Окремі способи розв'язування тригонометричних рівнянь з метою ознайомлення з ними і порівняння зручно показати на прикладі рівняння
Доцільно спеціально розглянути в загальному вигляді способи розв'язування однорідних і лінійних тригонометричних рівнянь, які використовувались для розв'язання рівняння (13.11).
Однорідними називають такі тригонометричні рівняння, в яких кожний член лівої частини є багаточленом того самого степеня щодо синуса і косинуса, а права частина - число 0.
|
|
|
У загальному вигляді однорідне рівняння можна записати так:
Розглянуте рівняння (13.11) є однорідним рівнянням першого степеня однорідності щодо синуса і косинуса.
Не слід вважати, що в будь-якому однорідному рівнянні cosx не може дорівнювати нулю. Наприклад, в однорідному рівнянні 2 cos x + + sin xcosx = 0 він може дорівнювати нулю, і тому ділити обидві частини рівняння на cos x не можна, оскільки будуть втрачені розв'язки. У такому разі рівняння розв'язується способом розкладання на множники:
Слід постійно звертати увагу учнів на можливі випадки порушення еквівалентності під час розв'язування тригонометричних рівнянь, а саме про втрату і появу сторонніх розв'язків. Ми вже наводили такі приклади. Потрібно спеціально назвати учням причини порушення еквівалентності. Сторонні розв'язки можуть виникнути в результаті піднесення до квадрата обох частин рівняння. Втрати розв'язків можуть трапитись під час ділення обох частин рівняння на вираз, що містить невідому, зокрема в разі необгрунтованого ділення обох частин однорідного рівняння на вираз cosn x, використання підстановки 
, застосування теореми додавання тригонометричних функцій. Наведемо ще два приклади втрати розв'язків.
|
|
|
Розв'язуючи тригонометричні рівняння, учні часто потрапляють у ситуацію, за якої розв'язавши одне й те саме рівняння різними способами, вони дістали різні за формою формули загальних розв'язків. їх еквівалентність можна довести перетворенням формул і об'єднанням кількох формул в одну. Можна також довести рівність множин розв'язків, записавши у розгорнутому вигляді прогресії, п-м членом яких є формула загального розв'язку тригонометричного рівняння. Проте обидва ці способи громіздкі.
Доцільно записати задане тригонометричне рівняння у вигляді f(x) = 0, знайти найменший додатний період функції у = f (х) і показати, що на проміжку [0; 1] кожна з отриманих формул має ту саму множину розв'язків.
Зручним є також геометричний спосіб: якщо різні формули на одиничному колі визначають однакові множини точок, що зображують частинні розв'язки рівняння, то ці множини рівні. Однак така геометрична інтерпретація можлива лише тоді, коли періодом (не обов'язково найменшим додатним) функції у = f (x), що є лівою частиною рівняння f(x) = 0, буде число 2p.
Програма курсу алгебри і початків аналізу передбачає ознайомлення учнів зі способами розв'язування лише найпростіших тригонометричних нерівностей вигляду sinx>tf, sinx<a, cosx>a, cosx<a, tgx > a, tgx < а. Досвід показав, що найзручніше це зробити за допомогою одиничного кола
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 639; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!