Математические модели теории безопасности

Если интенсивность риска X(t) = const, т.е. постоянна во времени, то из формулы (4.10) при S(0) = 1 вытекает экспоненциаль­ный закон безопасности, широко применяемый при расчетах так на­зываемых нестареющих объектов:

S(t) = exp(-A/),                                                    (4.12)

причем X — 1/Т_с, где Т_с — математическое ожидание ресурса (средний ресурс).

4.2. Показатели!

, безопасности и риска

55

Рис. 4.2. Зависимость изменения ин­тенсивности технического риска Х(/) технической системы от наработки t

Часто изменение интенсивности технического риска (отказов или параметра потока отказов) во времени имеет следующий характер: вначале интенсивность относительно велика, затем интенсивность снижается (этот период называется периодом приработки) и остается примерно постоянной в течение длительного интервала эксплуатации, увеличиваясь к концу его вследствие старения и износа (рис. 4.2).

Помимо экспоненциальной, широко применяется также модель надежности, в основе которой — распределение Вейбулла:

 (4.13)

причем X = 1/Т_с, где Т_с — математическое ожидание ресурса (срока службы);

Р - положительный параметр, варьирование которого позволяет описать широкий класс распределений.

При Р > 1 распределение Вейбулла описывает поведение «старею­щих» объектов, у которых интенсивность технического риска (отка­зов) со временем возрастает.

В расчетах безаварийности объектов, накапливающих поврежде­ния в процессе эксплуатации, используются также у-распределение и логарифмически нормальное распределение.

Для оценки функции риска сложных систем и объектов, состоящих из однотипных элементов, примененяется биномиальное распределение.

Пусть N — число элементов с однотипным характером перехода в предельное состояние (однотипным механизмом разрушения) и пусть ^о(') ~ функция безопасной работы конкретного элемента. Важно за­метить, что выход из строя одного элемента не приводит к изменению величины P₀(t) (схема Бернулли). За предельное состояние всей систе­мы удобно принимать такую ситуацию, регламентируемую условиями эксплуатации и ремонта, при которой из строя выйдет п* типовых (структурных) элементов (например, труб в теплообменниках и паро­генераторах). Тогда вероятность достижения предельного состояния за время t найдем по формуле биномиального распределения

56.

где

\'

N\

I

Ff-k

(4.14)

(4.15)

При достаточно большом числе N элементов системы в соответст­вии с известной теоремой Муавра—Лапласа биномиальное распреде­ление переходит в нормальное с характеристиками: E_n(f) = N[ I — /q(0] — математическое ожидание и D_n{t) = W[l — Р₀($]Р₀(1) — дисперсия.

Пусть предельное состояние определяется из условия п > л*, тогда, зная характеристики нормального распределения, можно вычислить технический риск, связанный с переходом в предельное состояние всей системы:

#(/) = P[n(t) > п].

(4.16)

Кроме того, для целей системного анализа безопасности и риска могут использоваться так называемые структурные модели, которые представляют в виде блок-схем или графов (например, деревьев собы­тий, деревьев отказов), а исходную информацию задают в виде извест­ных значений вероятностей безаварийной работы элементов, интен-сивностей технического риска и т.п.

■         4.3. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БЛОК - СХЕМ

Рассмотрим объект, состоящий из реактора /, теплообмен­ника 2 и циркулярного насоса 3 (рис. 4.3), который может быть пред­ставлен в случае независимости отказов элементов объекта в виде блок-схемы, изображенной на рис. 4.3, а [3]. Если в объекте дополни­тельно установить резервный насос 4, то будет иметь место блок-схе­ма, изображенная на рис. 4.3, б.

Если элементы взаимодействуют таким образом (как на блок-схе­мах рис. 4.3, а и 4.3, в), что переход в аварийное состояние любого из них приводит к аварийному отказу системы, то соединение элементов называют последовательным. Безаварийное состояние системы в этом случае может рассматриваться как случайное событие, равное пересе­чению (произведению) независимых событий — безаварийной работы каждого из элементов. Следовательно, функция безопасности S(t) си­стемы, согласно теореме умножения независимых событий, равна

 построения блок-схем

57

 

 

Рис. 4.3. Технический объект, структурные схемы и блок-схемы простейших систем при расчете технического риска

/ — реактор; 2 - теплообменник; 3— циркулярный насос; 4— резервный насос. Соединения элементов: а, в — последовательное; г — параллельное; 6,д,е — смешанное

произведению функций безопасности элементов:

к=\

(4.17)

Здесь т — число элементов системы;

S_x{f) ... S_m(t) — функции безопасности каждого из элементов.

Если элементы системы одинаковы, т.е. S_x(t) = S₂(t) — ... = S_m(t) — ^e S₀(f), то вместо (4.17) имеем

 (4-18)

В случае экспоненциального закона вероятности безаварийной ра­боты элементов [S₀(t) = ехр(-Я.₀Г)] легко получить выражения для функции безопасности S(f) и математического ожидания ресурса Л/[7], т.е. среднего ресурса Т_с до перехода в аварийное состояние сис­темы:

S(t)' = exp(-mX_ot), T_c = ! S{t)dt = T_cQ I m.

(4.19)

58

Глава 4 Методы анализа техногенного риска

Эти соотношения отражают известное положение о том, что если элементы взаимодействуют по схеме последовательного соединения, то показатели безопасной работы системы ниже соответствующих по­казателей любого из ее элементов. При этом с увеличением числа эле­ментов показатели системы быстро падают. Если число т велико, то практически невозможно создать систему, обладающую высокой безо­пасностью. Например, при т = 10, при одинаковых показателях безо­пасности всех элементов S_Q = 0,99 будем иметь значение вероятности безопасной работы системы менее 10~⁴, а средний ресурс системы бу­дет в 10 раз меньше среднего ресурса отдельного элемента.

Один из способов повышения безопасности систем — метод резер­вирования, заключающийся во введении в систему дополнительных элементов или подсистем сверх количества, минимально необходимо­го для выполнения заданных функций (как это сделано с резервным насосом на рис. 4.3, б).

Блок-схема простейшего способа резервирования показана на рис. 4.3, г. Вместо одного элемента, достаточного для выполнения опреде­ленных функций, система состоит из п элементов. Предполагается, что аварийные отказы элементов — независимые события, а отказ си­стемы происходит лишь в том случае, если откажут все п элементов. Такое соединение называют параллельным. Вероятность перехода си­стемы в аварийное состояние равна произведению вероятностей отка­зов ее элементов. Следовательно, функция безопасности S(t) системы:

т

(4.20)

 Если элементы системы одинаковы; eg. S_x(f) = S₂(t) = ... = S_n(f) = S₀(t), получаем:

s=\-(i-s_or.

(4.21)

Например, в случае экспоненциального закона вероятности без­аварийной работы элементов [S₀(t) = exp(—X_Qt)] средний ресурс систе­мы Т_с может быть вычислен по формуле

(4.22)

При высказанных предположениях о независимости отказов эле­ментов (что, конечно, не всегда имеет место) безопасность системы с параллельным соединением элементов возрастает с увеличением крат­ности резервирования. Так, уже при однократном резервировании (т.е. дублировании) в случае, когда вероятность безаварийной работы

4 3 Метод построения блок-схем

59

элемента S_o = 0,99, для системы получаем S= 0,9999. Средний ресурс системы, согласно (4.22), возрастает в 1,5 раза.

На рис. 4.3, д представлена блок-схема, в которой каждая подсисте­ма резервирована (л — 1) раз. Функция безопасности системы

(4.23)

На блок-схеме, изображенной на рис. 4.3, е, показан способ раз­дельного резервирования. На этой схеме каждый элемент резервирует­ся (п - 1) раз, после чего подсистемы соединяют последовательно. В этом случае

т

(4.24)

Блок-схемы рис. 4.3, в—е соответствуют случаям, когда все резерв­ные элементы находятся в рабочем состоянии. Наряду с этим можно строить схемы, в которых резервные элементы включаются в работу только в случае отказа очередного элемента или резервные элементы работают в облегченном дежурном режиме.

^! Задача 4.1

^! Вывести формулу (4.22).

Задача 4.2[1]

Составить блок-схему для оценки вероятности безаварийной рабо­ты системы шасси самолета. Система (рис. 4.4) состоит из 18 колес, из которых 2 образуют переднюю тележку, 8 образуют две тележки, рас­положенные под центральной частью фюзеляжа, и еще 8 - две тележ­ки, расположенные ближе к хвосту. Считается, что система переходит в предельное состояние в случае отказа одной из подсистем — перед-

 

 

Рис. 4.4. Система шасси самолета

"ft

60

Глава 4. Методы анализа техногенного риска

ней тележки, хотя бы одной из центральных тележек или обеих хвос­
товых тележек.                                                                              ._}

Ш       4.4. ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВЬЕВ ОТКАЗОВ

Методы деревьев отказов и событий позволяют учесть функциональные взаимосвязи элементов системы в виде логических схем, учитывающих взаимозависимость отказов элементов или групп элементов. В общем случае как деревья отказов, так и деревья событий являются лишь наглядной иллюстрацией к простейшим вероятност­ным моделям. Однако они представляют значительный интерес для специалистов, связанных с эксплуатацией, обслуживанием и надзо­ром технических объектов. Имея такую схему, специалист, даже не об­ладая основательными знаниями по теории вероятностей, может не только найти наиболее критический вариант развития событий, но и оценить ожидаемый риск, если соответствующее дерево событий или отказов дополнено статистическими данными. Кроме того, на рынке коммерческих программ (не говоря о специализированных) уже давно имеются программные комплексы для автоматизированного построе­ния деревьев отказов и деревьев событий сложных систем.

Дерево отказов (дерево аварий) представляет собой сложную гра­фологическую структуру, лежащую в основе словесно-графического способа анализа возникновения аварии из последовательностей и комбинаций, и неисправностей, и отказов элементов системы.

С помощью анализа дерева отказов фактически делается попытка количественно выразить риск дедуктивным методом. Деревья отказов идентифицируют событие или ситуацию, создающие риск, после чего ставится вопрос: как могло возникнуть такое событие? Ответ заключа­ется в том, что к такому событию могло привести множество путей. Практическая полезность дерева отказов зависит от тщательности оценки верхнего события. Большинство непосредственных причин верхних событий могут изучаться, как будто они сами являются верх­ними событиями. Теоретически такой анализ может проводиться очень детально на многих уровнях. Наиболее доступные для исследо­вания причины — это отказы компонентов, по которым имеется доста­точное количество статистических данных.

В этой связи наглядным примером в качестве элементов систем мо­гут служить насосы и регулирующая аппаратура. Так, хотя отказ насо­са и может служить верхним событием, вызванным такими причина­ми, как разрыв корпуса, разрушение подшипника и т.п., достаточное количество данных об отказах насосов может позволить рассматривать такой отказ как причину. В таком случае нет необходимости проводить дальнейший анализ для определения риска отказа. Поскольку в таком

4.4. Построение деревьев отказов

61

дедуктивном методе процесс детализации может прерываться произ­вольно, анализ можно заканчивать на компонентах, по которым име­ется достаточно данных, необходимых для точного определения веро­ятности отказа такого компонента.

Методика построения дерева отказа состоит из следующих этапов [3].

1. Определяют аварийное (предельно опасное, конечное) событие,
которое образует вершину дерева. Данное событие четко формулиру­
ют, дают признаки его точного распознавания. Для объектов химиче­
ской технологии, например, к таким событиям относятся разрыв ап­
парата, пожар, выход реакции из-под контроля и др. Если конечное
событие сразу определить не удается, то производят прямой анализ ра­
боты объекта с учетом изменения состояния работоспособности,
ошибок операторов и т.п. Перечисляют возможные отказы, рассмат­
ривают их комбинации, определяют последствия этих событий.

2. Используя стандартные символы событий и логические символы
(табл. 4.2), дерево строят в соответствии со следующими правилами:

Таблица 4.2. Стандартные символы событий и логические символы, применяемые при построении деревьев отказов

 

Вид элемента			Наименование	Описание
В 1 (_•_) i 77\			Схема И (совмещение)	Выходной сигнал В появляется только тогда, когда поступают все входные сигналы At (А{ г\А2п ... пАп)=> В
; к			Схема ИЛИ (объединение)	Выходной сигнал В появляется при поступлении любого одного или большего числа сигналов А{ (А{ U A2 U ... U Ап) =» В
	i		Результирующее событие	Результат конкретной комбинации отказов на входе логической схемы
			Первичный отказ
if			Неполное событие	Отказ (неисправность), причины которого выявлены не полностью, например из-за отсутствия информации

62

Глава 4. Методы анализа техногенного риска

• конечное (аварийное) событие помещают вверху;

• дерево состоит из последовательности событий, которые ведут к
конечному событию;

• последовательности событий образуются с помощью логических
символов И, ИЛИ и др.;

• событие над логическим символом помещают в прямоугольнике, а
само событие описывают в этом прямоугольнике;

• первичные события (исходные причины) располагают снизу.

Простейшее дерево, характеризующее возникновение пожара на объекте, показано на рис. 4.5, а. Более сложное дерево аварии, описы­вающее разрыв химического реактора, представлено на рис 4.5, б. Ис­ходные события при разрыве реактора следующие: А — закрыт или не­исправен предохранительный клапан, Б — открыт клапан подачи окислителя, В — неисправна система блокировки при высокой темпе­ратуре, Г— малая подача сырья, Д— клапан окислителя открыт и не­исправен, Е— неисправна система регулирования расхода окислителя, Ж- увеличено открытие диафрагмы, 3 — отсутствует напор.

При построении дерева аварий события располагают по уровням. Главное (конечное) событие занимает верхний - 0-й уровень, ниже располагают события 1-го уровня (среди них могут быть и начальные), затем — 2-го уровня и т.д. Если на 1-м уровне содержится одно или не­сколько начальных событий, объединяемых логическим символом ИЛИ, то возможен непосредственный переход от начального события к аварии.

3. Определяют минимальные аварийные сочетания и минималь­
ную траекторию для построения дерева. Первичные и неразлагаемые
события соединены с событием 0-го уровня маршрутами (ветвями).
Сложное дерево имеет различные наборы исходных событий, при ко­
торых достигается событие в вершине; они называются аварийными
сочетаниями.

4. Квалифицированные эксперты проверяют правильность постро­
ения дерева. Это позволяет исключить субъективные ошибки
разработчика, повысить точность и полноту описания объекта и его
действий.

Для дерева рис. 4.5, б сочетание событий А, Б, Г, Даварийное. При одновременном возникновении этих событий произойдет разрыв ре­актора. Минимальным аварийным сочетанием (MAC) называют наи­меньший набор исходных событий, при котором возникает событие в вершине. Минимальными аварийными сочетаниями являются А, Б, Г. Полная совокупность MAC дерева представляет собой все варианты сочетаний событий, при которых может возникнуть авария. Мини­мальная траектория — наименьшая группа событий, без появления ко-

Построение деревьев отказов

63

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 422; Мы поможем в написании вашей работы! Поделиться с друзьями: ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒ Мы поможем в написании ваших работ! . . © 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.055)