Основные характеристики звезд 14 страница
После подстановки всех постоянных в полученное выше выражение для 
находим, что
Мы несколько отступили здесь от нашего обычного стиля -- получать скорее оценки, чем точные результаты, и стараться избегать громоздких расчетов. Сделать это хотя бы один раз, однако, полезно.
А вот как формулу 
можно получить совсем просто, комбинируя другие известные результаты. Плотность лучистой энергии равновесного излучения равна
где a -- постоянная плотности излучения:
а средняя энергия одного фотона 
(см. предыдущую задачу). Поэтому
что сразу же и дает коэффициент 20 при 
. На самом деле, конечно, ничего принципиально нового в таком способе расчета нет -- просто мы использовали готовое численное значение постоянной плотности излучения a (оно есть, например, у Аллена [1]).
8.6 Частота фотона, испускаемого при переходе атома водорода с уровня m на уровень n, дается известной формулой
где 
-- частота предела ионизации с первого уровня, 
Гц.
Перейдем от частот к длинам волн:
где 
.
Искомый переход найдем перебором. Вначале положим n=1. Тогда для m=2 получаем 
. Это знаменитая линия лайман-альфа, или 
. Ясно, что для m>2 будем иметь 
, т.е. переходы на первый уровень нам не подходят. Возьмем n=2. Тогда для m=3 получим 
. Это и есть искомый переход (линия H 
). Различие в длине волны в четвертом знаке (6 вместо 3) нас смущать не должно, так как при расчете мы использовали значение 
лишь с тремя значащими цифрами.
|
|
|
8.7 По формуле из решения предыдущей задачи находим
Таким образом, линия межзвездного водорода H 
лежит в субмиллиметровом диапазоне. Излучение в нем поглощается земной атмосферой. Наземные наблюдения линии невозможны.
8.8 Линия H 
возникает при переходе 
в атоме водорода. Из общей сериальной формулы для водорода (см. задачу )
полагая m=n+1 и считая, что 
, находим
Согласно этой формуле, линия H 
, например, имеет длину волны около 5 см.
Подобные радиолинии, возникающие при переходах между близкими высокорасположенными уровнями, давно уже наблюдаются в туманностях. Как вы думаете, есть ли надежда обнаружить их также в радиоизлучении Солнца? (Ср. задачу .)
8.9 Исходим из сериальной формулы для водорода в шкале частот:
Полагая в ней 
и считая, что и 
, получим
Отсюда видно, что, действительно, при увеличении 
на единицу частота соответствующего перехода возрастает на одну и ту же величину 
которая есть не что иное как частота линии H .
8.10 Ионизация атомов водорода с n-го уровня может производиться фотонами с длиной волны короче, чем та, которую имеет излучение, образующееся при переходе атома водорода с уровня 
на уровень n. По формуле из решения задачи находим, что эта длина волны равна 
. При n = 2 имеем 3648 (на самом деле 3646 ). Таким образом, излучение видимого диапазона не способно ионизовать атомы водорода со второго уровня. Это очень важное заключение.
|
|
|
8.11 Причина этого -- различие плотности. В атмосферах белых карликов она значительно выше, чем в солнечной хромосфере (почему?). Поэтому средние расстояния между атомами в хромосфере гораздо больше, чем в атмосферах белых карликов. Но радиус n-й боровской орбиты 
быстро растет с n, именно, 
. Понятно, что он не может быть больше среднего расстояния между атомами -- иначе станет непонятно, какому именно атому принадлежит электрон, находящийся на этом уровне, т.е. произойдет его "обобществление". Поэтому, чем выше плотность, тем меньшее число уровней реализуется, а потому и тем меньшее число бальмеровских линий может возникать.
Удивительно, но факт: просто подсчитывая число бальмеровских линий, которые видны в спектре той или иной звезды, можно оценить плотность ее атмосферы!
Спектры Солнца и звезд
9.1 Фраунгоферовы линии -- это линии поглощения в видимой части спектра Солнца (линий в других областях спектра Фраунгофера в начале 19 в. наблюдать, естественно, не мог). Наряду с другими причинами, уширение этих линий вызывается тепловым движением атомов в атмосфере Солнца. Оценим характерную тепловую скорость атомов водорода на Солнце. Из условия
находим
|
|
|
Подставляя значения 
эрг/K (постоянная Больцмана), T=5800 K (температура "поверхности" Солнца) и 
г (масса атома водорода мало отличается от массы протона), получаем 
км/с. (Это число полезно помнить. Оно порядка скорости звука в атмосфере Солнца.) По формуле эффекта Доплера при такой лучевой скорости длина волны видимого света 
) смещается на величину 
. Соответствующая ширина линий порядка 
, так как скорости частиц газа могут быть направлены как к наблюдателю, так и в противоположном направлении.
Эта оценка относится к водороду. Для атома с массой m ширина линии будет в 
раз меньше (почему?).
Найденные нами ширины -- минимальные: тепловые скорости есть всегда. В действительности существуют и другие причины уширения. В итоге сильные линии (в частности, и бальмеровские линии водорода) оказываются значительно шире.
9.2 Из-за вращения один край диска приближается к нам, другой удаляется. Поэтому линия, которая была бы бесконечно узкой у невращающейся звезды, оказывается уширенной -- ведь к нам приходит излучение со всего диска, а из-за вращения в разных его точках лучевая скорость, а значит, и вызванное ею доплеровское смещение различны. Если ось вращения перпендикулярна к лучу зрения, то доплеровское уширение линии, обусловленное вращением, будет составлять
(А что будет, если угол наклона оси вращения к лучу зрения не 
, а i?)
|
|
|
Обратимся к конкретному случаю, указанному в условии задачи. Радиус звезды спектрального класса B0V можно принять равным 
. Поэтому периоду осевого вращения 
соответствует скорость вращения на экваторе 
км/с. Линия с длиной волны 
будет иметь 
.
9.3 Линии H и K Ca II -- резонансные, т.е. они возникают при переходах с основного уровня. Линии же 
и 
возникают при переходах с первого возбужденного уровня, отстоящего от основного на 10.2 эВ. При температуре 
K на этом уровне находится лишь очень малая доля атомов водорода, подавляющее же большинство -- на основном уровне. Населенность i-го уровня 
можно оценить по формуле Больцмана
где 
-- статистический вес i-го уровня (для водорода 
) и 
-- энергия его возбуждения (10.2 эВ для i = 2, т.е. для первого возбужденного уровня водорода). Поскольку энергии в 1 эВ соответствует температура 11600 К, то при 
К оказывается, что 
. Поэтому при K доля атомов водорода, находящихся на втором уровне, составляет всего 
. Но 
(напоминаем, что 
), а 
, так что доля атомов на втором уровне составляет 
. Их концентрация существенно ниже концентрации ионов кальция (содержание кальция 
от водорода; кальций в солнечной атмосфере сильно ионизован, так как энергия его ионизации сравнительно невелика, 
эВ). В итоге резонансные линии иона кальция оказываются сильнее бальмеровских линий.
9.4 Чтобы ответить на поставленные вопросы, следует прежде всего понять, почему есть бальмеровский скачок. Поглощение излучения в атмосферах с температурой 
K вызывается нейтральным водородом. По коротковолновую сторону от бальмеровского предела при 
\ (скажем, на 
) излучение способно ионизовать атомы водорода со всех уровней, начиная со второго, по длинноволновую сторону от этого предела (скажем, на 
) фотоны могут ионизовать водород лишь с третьего и более высоких уровней. В результате на \ атмосфера оказывается более прозрачной, и мы видим более глубокие и потому более горячие ее слои. Излучение их сильное. По коротковолновую сторону от предела (на ) непрозрачность газа велика, излучение приходит лишь из самых поверхностных, а значит, более холодных слоев, и потому оно слабее.
Теперь уже легко ответить и на вопрос о потемнении. Там, где непрозрачность велика ( ), во всех точках диска излучение приходит почти из одних и тех же, самых поверхностных слоев. Поэтому потемнение к краю должно быть мало. С излучением по длинноволновую сторону от предела ( ) положение другое. В центре диска оно приходит со сравнительно большой глубины, где горячо, а на краю луч зрения скользит по атмосферным слоям, и излучение приходит только из самых наружных холодных слоев. Значит, на этих длинах волн должно быть значительное потемнение.
Можно утверждать, что отношение яркостей в центре и на краю по длинноволновую сторону от предела заведомо больше, чем величина наблюдаемого в спектре звезды скачка (поймите, почему).
9.5 Мы настолько привыкли к тому, что излучение Солнца в первом приближении можно считать чернотельным, что обычно не задаемся вопросом, почему, собственно, это так. Между тем вопрос нетривиален. Действительно, если бы температура Солнца была не 6000 K, а 10000 K, то оно было бы звездой класса A0V, и спектр был бы совсем не похож на планковский -- имелся бы большой бальмеровский скачок на и т. д. Так почему же распределение энергии в спектре Солнца похоже на планковское? По сути дела, причина этого в том, что атмосфера Солнца почти серая, т.е. ослабляет проходящее через нее излучение неселективно. Это вызвано тем, что основным источником непрозрачности газа в солнечной атмосфере является не нейтральный водород, как у звезд класса A (последний поглощает излучение разных длин волн весьма по-разному -- отсюда, в частности, и бальмеровский скачок, см. предыдущую задачу), а отрицательный ион водорода (см. задачу ). Он поглощает видимое излучение всех длин волн почти одинаково. Температура в солнечной атмосфере, точнее, в тех слоях, которые мы непосредственно видим, различается не сильно и близка к 6000 K. Поэтому наблюдаемый спектр есть наложение планковских кривых со слегка различающимися температурами, входящими с весовыми множителями, учитывающими нейтральное, т.е. одинаковое для всех длин волн ослабление излучения при прохождении им слоев атмосферы, лежащих над тем уровнем, где свет был излучен. В результате и получается, что спектр Солнца близок к чернотельному с К.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 185; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!